矢量运算法则

《矢量运算法则》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、矢量的运算法则1.加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：b.满足结合律：三个方向的单位矢量用表示。根据矢量加法运算：所以：在直角坐标系下的矢量表示:其中：矢量：模的计算：单位矢量：方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算：2.减法：换成加法运算逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。3.乘法：（1）标量与矢量的乘积：方向不变，大小为

2、k

3、倍方向相反，大小为

4、k

5、倍（2）矢量

6、与矢量乘积分两种定义a.标量积（点积）：两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即有两矢量点积：结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行

7、四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：xyzo（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a.标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：b.矢量三重积：例1：求：中的标量a、b、c。解：则：设例2：已知求：确定垂直于、所在平面的单位矢量。

8、解：已知所得矢量垂直于、所在平面。已知A点和B点对于原点的位置矢量为和，求：通过A点和B点的直线方程。例3：其中：k为任意实数。xyzCAB解：在通过A点和B点的直线方程上，任取一点C，对于原点的位置矢量为，则矢量微分元：线元、面元、体元例：其中：和称为微分元。1.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：2.圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：3.球坐标系在球坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。线元：面元：体元

9、：在柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：柱坐标系中：球坐标系中：正交曲线坐标系中：直角坐标系中：常用坐标系中，散度的计算公式为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：旋度公式：重要的场论公式1.两个零恒等式任何标量场梯度的旋度恒为零。任何矢量场的旋度的散度恒为零。在圆柱坐标系中：在球坐标系中：在广义正交曲线坐标系中：2.拉普拉斯算子在直角坐标系中：3.常用的矢量恒等式