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1、智浪教育--普惠英才文库2013年广州市高二数学竞赛试题2013.5.11考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上;⒉不准使用计算器;⒊考试用时120分钟,全卷满分150分.一、选择题:本大题共4小题,每小题6分,满分24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在下列函数中,既是上的增函数,又是以为最小正周期的偶函数的函数是A.B.C.D.2.已知向量,其中,,则满足条件的不共线的向量共有A.9个B.12个C.13个D.16个3.在平面直角坐标系中,设是由不等式组表示的区域,是到原点的距离不大于1的点构成的区域,若向中随机投一点,则所投点落在中的概率是
2、A.B.C.D.4.已知函数,则函数所有零点的和为A.B.0C.2D.4二、填空题:本大题共6小题,每小题6分,满分36分.5.若直线与圆相切,则*。6.已知集,,且,则实数的值等于*.2011年广州市高二数学竞赛试题第8页共8页智浪教育--普惠英才文库7.已知不等式<1的解集是{x
3、x<1或x>2},那么实数*.8.已知为三条不同的直线,且,给出如下命题:①若与b是异面直线,则c至少与,b中的一条相交;②若//b,则必有//c;③若不垂直于c,则与b一定不垂直;④若⊥b,⊥c,则必有.其中正确的命题的是(请填上正确命题的序号)。①②9.定义运算,则符合条件(其中为虚数单位)的复数*。
4、10.将数列依原顺序按第组有项的要求分组,则2013在第*组.10.前组所含项数之和为,2013是数列的第1008项.由于,所以2013在第9组.三、解答题:本大题共5小题,满分90分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(本小题满分15分)中,角、、所对的边分别为、、,已知,,。(1)求的值;(2)求的面积。11.(1)。……………………………………2分∵,∴为锐角。……………………………………………4分。…………………………………………………………6分…………………………………………………………………8分(2)∵。……10分,,得。……………………………………………13分
5、2011年广州市高二数学竞赛试题第8页共8页智浪教育--普惠英才文库。…………………………………………15分12.(本小题满分15分)如图,己知△中,,,平面,,、分别是、上的动点,且。(1)求证:不论为何值,总有平面⊥平面;(2)若平面与平面所成的二面角的大小为,求的值.12.(1)证明:因为AB⊥平面ABCD,所以AB⊥CD。在△BCD中,,所以BC⊥CD。因为AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC。………………………………………………3分在△ACD中,E、F分别是AC、AD上的动点,且。所以EF∥CD,所以EF⊥平面ABC。因为EF平面BEF,所以平面BEF⊥平面ABC。……………
6、………………………6分(2)解:作BQ∥CD,由(1)知CD⊥平面ABC,所以BQ⊥平面ABC。所以BQ⊥BC,BQ⊥BE。因为BQ与CD、EF共面,平面BEF∩平面BCD=BQ,所以∠CBE为平面BEF与平面BCD所成的二面角的平面角为60°。………………8分在∆ABC内作EM⊥BC交BC于点M,由cos60°=,所以2BM=BE。 ①……………………………9分又,所以=1-。由=1-,在∆BCD中,∠BCD=900,BC=CD=1,所以BD=,又在Rt∆ABD中,∠ADB=600,所以AB=,所以,EM=(1-)。 ②……………………………11分又=,且BC=1,所以BM=。③…
7、…………………………12分在Rt∆中,由①②③得42=6(1-)2+2。……………………………2011年广州市高二数学竞赛试题第8页共8页智浪教育--普惠英才文库13分即2-4+2=0,解得=2-或=2+。………………………………14分因为,所以=2-。……………………………………………………15分13.(本小题满分20分)已知函数.(1)若曲线在和处的切线互相平行,求的值;(2)求函数的单调区间。13.函数的定义域为。…………………………………………………………2分且.……………………………………………………4分(1)因为曲线在和处的切线互相平行,所以。………………………………………
8、………………………………6分即,解得.………………………………………………………………………………8分(2)因为.………………………………………………10分①当时,,,在区间上,;在区间上,故的单调递增区间是,单调递减区间是.………………………13分②当时,,在区间和上,;在区间上,故的单调递增区间是和,单调递减区间是.…………16分③当时,因为,故的单调递增区间是.…………………18分2011年广州市高二数学竞赛试题第8页共8页智浪教育--普
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