2012年全国初中数学竞赛试题副题参考答案

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1、2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案一、选择题 1．D 解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是． 2. B 解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择. 3．B 解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数． ≥0，又2≥，所以， 当时，解得 ； 当时，解得 ． 4. C 解：当函数为二次函数时，有                     k2－1≠0，                       =(k+1)

2、2－4(k2－1)＜0.     解得k＞，或k＜－1．  当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．     当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.     所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1. 5. B  （第5题） 解：如图，设，作BKCE，则 ， 于是A，B，E，C四点共圆.因为是的中点，所以，从而有 ， 即平分. 二、填空题 6. 30  （第6题） 解：如图，连接PD，则 ． 7．180 解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知 ，   ． 消去z，

3、得． 设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即 ， 解得． 8．＜ 解：由an==，得 a1+a2+…+a2012= =＜1. 9．25 解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有 1≤≤9， 且 ，                 （1） 即              ，           （2） 于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到 ． 此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有 9×3－2=25种放法． 

4、10. 6  （第10题） 解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF. 由切线长定理得 AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c). 在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即 tan. 同理， tan，tan. 代入已知等式，得 . 因此a+c=. 三、解答题 11.解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程                                                的两个根. 故  

5、                ≥0， ≥0， 即                        ≥0， 所以≥20． 于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故 ≥30， 当时，等号成立． 12.解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得 10ab+10bc+10ca=9abc. 因为abc≠0，所以，. 不妨设a≤b≤c，则 ≥≥＞0. 于是，               ＜≤， 即                         ＜≤， ＜a≤. 从而，a=2，或3. 若a=2，则. 因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5. 

6、 从而，b=3，4，5.相应地，可得c=15，(舍去)，5. 当a=2，b=3，c=15时，d=90； 当a=2，b=5，c=5时，d=50. 若a=3，则. 因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤. 从而，b=2（舍去），3. 当b=3时，c=(舍去). 因此，所有正整数解为 (a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)， (3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)， (2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50). 13.证明：延长DA至，使得，则，

7、于是 △DPC∽△， 故 ， 所以PO∥．  （第13题） 又因为△DPO∽△，所以 ． 同理可得          ， 而AB∥CD，所以，故OP＝OQ． 14.解：（1）由题设可得，或，或 .    由，解得；    由，解得；    由，解得.    所以满足题设要求的实数.    （2）不存在. 由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中 间项的平方，则有                   ， 解得，这与矛盾.    故不存在这样的数列.    （3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知， 或数列均为1，1，1，即，这与题设矛

8、盾. 如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.    如果删去的是，得到的一列数为，那么 ，开得.    所以符合题设要求的的值为1，或.