浅析立体几何中的探索性问题

《浅析立体几何中的探索性问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、浅析立体几何中的探索性问题江苏省泗阳中学张涛（223700）立体几何的探索性问题在近几年高考中经常出现，这种题型有利于考查学生的归纳、判断等各方面的能力，也有利于创新意识的培养，因此应注意高考中立几探索性命题的考查趋势。立体几何探索性命题的类型主要有：一、探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么；二、探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。一、对命题条件的探索对命题条件的探索常采用以下三种方法：1、先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明。2、先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性。3、把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。例1：四棱

2、锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，当的值等于多少时，能使PB⊥AC？并给出证明。解法一：取AD中点F∵PF⊥AD，面PAD⊥面ABCD∴PF⊥面ABCD连结BFCBDAPF则若PB⊥AC，则AC⊥BF设AD=x,AB=y∵∠FOA=90°∴在ΔAOF中，AF=AO=，FO=根据题意AF2=AO2+FO2代入可得，若=容易证得FB⊥AC由三垂线定理可证得PB⊥AC.解法二：如图，建立坐标系，设AD=2，PF=，AB=x，A点坐标为(0,―1,0)，C点坐标为(x,1,0)，P点坐标(0,0,)，B点坐标为(x,―1,0)，=(x

3、,―1,―)，=(x,2,0)3zCBDAPFOyOxC∵PB⊥AC∴·=0即x2―2=0∴x=∴=解题回顾：这类题通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：⑴通过各种探索尝试给出条件。⑵找出命题成立的必要条件，也证明充分性。例2：在三棱锥A-BCD中，AB，BC，CD两两垂直，若AD与平面BCD所成的角为α，AD与平面ABC所成角为β，且AD=6，则当α=30°，β为何值时，三棱锥A-BCD的体积最大，最大值是多少？解：∵VA-BCD=AB·SΔBCDAB⊥面BCD∴∠ADB=30°又∵DC⊥面ABC∴∠=DAC=β，则AB=3，CD=ADsinβ

4、=6sinβAC=ADcosβ=6cosβ∴BC=∴VA-BCD=×3××6sinβ=≤当4sin2β=4cos2β―1即β=arcsin时，三棱锥A-BCD体积取得最大值.解题回顾：在探索几何极值问题中，常把要求的几何量当成自变量，然后列出目标函数，再求出要求的几何量。二、对命题结论的探索对命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，另外还有探索的结论是否存在。求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论。例：如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥面ABCD，且PA=1，试问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？为什么？解：若BC边上存

5、在点Q，使PQ⊥QD，则3pDBAQ∵PA⊥平面ABCD由三垂线定理知AQ⊥DQ在矩形ABCD中，当AD=a<2时，直线与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使AQ⊥DQ∴仅当a≥2时，才存在点Q，使PQ⊥DQ.解题回顾：这是一道存在性的探索题，常假定结论成立，再判断与已知条件是否矛盾。3