[笔记]立体几何中的探索性问题

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1、立体几何中的探索性冋题立体几何中的探索性问题主耍是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究.这类试题的一般设问方式是“是否存在?存在给出证明，不存在说明理由”.解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了才盾就否定假设.8如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA丄底面ABCD,PA二AB=1,AD=V3,点F是PB的中点，点E在边BC上移动.(1)点E为BC的中点时，试判断EF打平面PAC的位置关系，并说明理由.(2

2、)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE丄AF.B⑶当BE为何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45。?(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.•・•在ZXPBC中,E、F分别为BC、PB的中点，・•・EF//PC・乂EF0平面PAC,而PCU平面PAC,・・・EF//平面PAC.(2)以A为坐标原点建立如图4-8-48所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1),B(O,1,0),F(0,*,*)»D(/3»0,0).设BE=x,则EQ,1,0),•Ap'=(x.1»—1)•(3)设平面PDE的法向倉为zn=(p，sl),m•Pb

3、=0./1■x,由―诞=0,得心(石'一石'J而乔=(0・0」)・依題盘PV与平面PDE所成角为45°.所以sin4511得BE=h=扬一血或BE=h=G+血＞"(舍)•故时，PA与平面PDE所成角为45°.拓展提升(1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型.一般来说，这种题型依据题H特点，充分利用条件不难求解.(2)对于探索性问题，i般先假设存在，设出空间点的处标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.9如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的J2倍，P为侧棱SD上的

4、点.(1)求证：AC丄SD.D(2)若SD丄平面PAC,求二面角P-AC-D的大小.(1)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE〃平面PAC?若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.如图所示，在正方体ABCDfBQD冲,M,N分别是AB,BC中点.(1)求证：平面BiMN丄平®BB1D1D；(2)在棱DD.±是否存在点P,使〃平而PMN,若有，确定点P的位置；若没冇，说明理由.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD丄底面ABCD,侧棱PA=PD=V2,底面ABCD为直角0C梯形，其中BC/7AD,AB丄AD,AD=2

5、AB=2BC=2,0为AD中点.(1)求证：P0丄平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的人小：(3)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为逅?若存在,2求出AQ：DQ的值;若不存在，请说明理由•立体几何中探索性问题的向量解法高考中立体儿何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使儿何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体儿何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.本节课主要研究：立体儿何中的存在判断型和

6、位置探究型问题等探索性问题。一、存在判断型1、已知空间三点A(・2,0,2),B(-2,1,2),C(・3,0,3).设a=忑，b=屁，是否存在存在实数k,使向量ka+b与ka・2b互相垂直，若存在，求k的值；若不存在，说明理由。解Vka+b=k(0,1,0)+(-1,0,1)=(-1,k,1),ka-2b=(2,k,-2),且(ka+b)丄(ka-2b),・•・(-1,k,1)-(2,k,-2)=k2-4=0.则k=-2或k=2.点拨：第(2)问在解答吋也nJ以按运算律做.(ka+b)(ka-2b)=k2a2-kab-2b2=k24=0,解得

7、k=-2或k=2.2、如图，已知矩形ABCD,PA丄平曲ABCD,M、N分别是AB、PC的屮点，ZPDA为&,能否确定&,使直线MN是直线AB与PC的公垂线?若能确定，求出&的值；若不能确定，说明理由.解：以点A为原点建立空间直角处标系A-xyz.询AD

8、=2a,

9、AB

10、=2b,ZPDA=&.则A(0,0,0)、B(0,2b,0)、C(2a,2b,0)、D(2a,0,0)、P(0,0,2atan。)、M(0,b,0)、N(a,b,atari").AB=(0,2b,0),PC=(2a,2b,-2atan0),MN=(a,0,atari。).•・•

11、忑・MN=(0,2b,0)-(a,0,atan&)=0,・•・AB丄MN.即AB丄MN.若MN丄PC,则MNPC=(a,0,atan&)・(2a,2b