用曲线积分求旋转曲面面积

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1、用曲线积分求旋转曲面的面积蜀南竹海1作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。2先看特殊的情形旋转轴为坐标轴3设L是上半平面内的一条平面曲线。将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。L4L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到x轴的距离是y（如图）。该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：（面积元素）于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲

2、面的面积为：5命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：L6命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为：同理L7下面针对不同的曲线方程将曲线积分化为定积分得到熟悉的旋转曲面的面积公式8直角坐标方程9y=f(x)如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：10y=f(x)如果L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：11参数方程12如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：13如果则L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：14极坐标方程15如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：16我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和

3、旋转曲面面积之间的关系的定理：古尔丁定理PaulGuldin（古尔丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.17L上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。古尔丁定理形心18如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。L形心19下面来看一般的情形一般的曲线&一般的旋转轴20设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线l的一侧（如图）。将L绕直线l旋转一

4、周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积A。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。Ll21L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到直线l的距离是：该弧微分绕l旋转而成的旋转曲面的面积约为：于是整个曲线L绕直线l旋转而成的旋转曲面的面积为：设直线l的方程为ax+by+c=0。l22命题3曲线L绕直线ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面的面积为：Ll23下面举几个例子来说明命题中的公式的应用由于其中积分较难计算用数学软件Maple完成24例1求曲线y=x2(0x^2

5、;f:=(x,y)->2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5))*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=(2*Pi/sqrt(5))*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);with(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);25例

6、2求y=x2(0x^2;f:=(x,y)->y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);26例3求y=lnx(1ln(x);f:=(x,y)->x+y;a:=1:b:=exp(1):sqrt(2

7、)*Pi*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);27