求曲线、曲面积分的方法与技巧

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2、曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。例一．计算曲线积分其中是圆上从原点到的一段弧。本题以下采用多种方法进行计算。解1：的方程为由由分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解2：在弧上取点，的方程为由由的方程为由由

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5、下限。解3：的参数方程为由由解4：的极坐标方程为因此参数方程为由由分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解5：添加辅助线段，利用格林公式求解。因于是安卓软件WWW.96755.CNDBFQ山东煤炭WWW.LZCBC.CNDBFQ绿色软件WWW.DOWNCC.COMDOWNCC亿书网WWW.YISHUS.COMDBFQ手机保护膜WWW.ELIPPA.COMDBFQ静音无

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7、YZ4U.COMDBFQ安卓软件WWW.96755.CNDBFQ而故得分析：在利用格林公式将所求曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。是的正向边界曲线。解5中添加了辅助线段使曲线为正向封闭曲线。解6：由于于是此积分与路径无关，故分析：由于在闭区域上应具有一阶连续偏导数，且在内因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在上的积分为在上积分，注意点对应的起点。一

8、般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。解7：由全微分公式分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。例二．计算曲线积分其中是曲线从轴正向往轴负向看的方向是顺时针的。解1：设表示平面上以曲线为边界的曲面，其中的正侧与的正向一致，即是下侧曲面，在面上的投影区域：由斯托克斯公式安卓软件WWW.96755.CNDBFQ山东煤炭WWW.LZCBC.CNDBFQ绿色软件WWW.DOWNCC