高等数学(上)期末复习

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1、高等数学（上）复习21目录第一章极限与函数3第二章导数与微分8第三章微分中值定理与导数应用11第四章不定积分13第五章定积分17第六章定积分的应用1921高等数学（上）期末复习第一章极限与函数一、重点概念1.数列{Xn}有界是数列{Xn}收敛的必要条件。数列{Xn}收敛是数列{Xn}有界的充分条件。即：数列{Xn}收敛数列{Xn}有界（以上说明收敛的数列一定有界，有界的数列不一定收敛。另外，如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在。）2.ƒ(x)在x0的某一去心临域内有界是存在的必要条件。存在是ƒ(x)在x0的某一去心邻域内有界的

2、充分条件。即：存在ƒ(x)在x0的某一去心临域内有界3.ƒ(x)当时的右极限ƒ(x0+)及左极限ƒ(x0-)都存在且相等是存在的充分必要条件。4.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。（※）如出现sin∞或者cos∞。做题时要配有说明。(注：y=arctanx为有界函数)215.复合函数的极限运算法则：6.β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o(α)7.间断点的类型：第一类间断点为左右极限都存在的间断点；第二类间断点为左右极限至少有一个不存在的点。（注：找间断点找没有意义的点）8.有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定

3、能取得它的最大值和最小值。9.零点定理：设函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续，且ƒ（a）与ƒ(b)异号，那么在开区间至少存在一点ξ,使ƒ(ξ)=010.介值定理：设函数y=ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，ƒ(a)=A及ƒ(b)=B。。那么，对于A与B之间的任意一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得ƒ(ξ)=C(a<ξ

4、b.乘除运算利用等价无穷小c.洛必达法则（有些极限中带有积分的注意用此法）d.泰勒公式（不常用）补充：等价无穷小公式当x→0时(※※)sinx～xtanx～x(1-cosx)～arcsinx～xarctanx～xln(1+x)～x(ex-1)～xloga(1+x)～（ax-1）～xlna[(1+x)α-1]～αx洛必达法则若函数和满足下列条件：⑴,；⑵在点a的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞）则（Ⅱ）型不定式求极限步骤a.同除无穷大量b.洛必达法则注：0·∞和∞-∞不定式可以转化为以上两种不定式。重点是出现分母！（Ⅲ）1∞型不

5、定式求极限步骤a.底数必须出现数字“1”，如果没有“1”则加“1”21减“1”。a.底数中除了“1”以外的数配倒数。e之外的极限最好单独算。运用的重要极限为：计算此类问题的技巧：先配出来，再写原式，要写过程，防止出错。2.极限，连续，可导，间断点问题。①某点何时有极限？验证左右极限是否相等②何时连续？左极限=函数值，右极限=函数值，同时成立。③何时可导？连续，左导数=右导数④间断点？分母为零的点，左右极限都存在即第一类间断点，否则，第二类间断点。三、本章补充知识点：1.反三角函数图像212.幂指函数的变换：3.指数函数的特殊性：对于要注意。21第

6、二章导数与微分一、概念和求导题型1.函数在一点处的导数：①②2.导函数：3.ƒ(x)在点x0可导是ƒ(x)在点x0连续的充分条件。ƒ(x)在点x0连续是ƒ(x)在点x0可导的必要条件。即：如果函数y=ƒ(x)在点x处可导，则函数在该点必连续。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。4.函数ƒ(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。211.基本初等函数的导数公式（※※）（tanx）＇＝sec2x(cotx)＇=-csc2x(ax)＇=axlna(logax)＇=(arcsinx)＇=(arctanx)＇=（注：千万不

7、要记混啊！！！！！）2.反函数的求导法则：[ƒ-1（x）]＇=3.高阶导数:①一些基本初等函数n阶导数②莱布尼茨公式：(uv)(n) =u(n)v+nu(n-1)v＇+u(n-2)v"+．．．+u(n-k)v(k)+．．．+uv(n)8.幂指函数的导数①根据定义：21②对数求导法（另对于复杂的根式计算也可使用此法）9.参数方程求导：对于的求导法则为（参数方程求导无论几阶导分母都为）10.函数的微分:千万不要忘记dx总结:幂函数、三角函数、指数函数的导数仍分别为幂函数、三角函数、指数函数。11.微分近似计算:12.ƒ(x)在点x0可导是ƒ(x)在点

8、x0可微的充分必要条件。13.求单调区间时，单个区间全闭，多个区间注意不要重叠。14.求最值：先求极值点，后于端点值比较。二、本章补充知