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1、椭圆的标准方程知识点复习知识点一：椭圆的定义1.平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形.2.椭圆标准方程的推导（1）取过焦点、的直线方程为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系设M（，）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c，则、的坐标分别是（-c，0）、（c，0）。椭圆就是集合P=因为=，=,所以+=2移项，得=2-，两边平方，得，整理，得，=-cx两边再平方，得，[]=整理，得，由椭圆定义可知，2>2c,即>c,所以>0设=
2、（b>0）,得（>b>0）两边同时除以，得，此方程为椭圆的标准方程19其焦点在轴上，焦点坐标（-c,0）、(c,0),、b、c满足关系式（2）以同样的方法推导焦点在轴上，标准方程：，其焦点（0，-c）、(0，c,)知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；3.注意的问题（1）方程均不为零，且A>0,B>0),只要求出A,B的值即可。（2）椭圆的焦点总在长轴上，因此可以通过标准方程判断焦点的位置，其方法是：看
3、，的分母大小，哪个大就在哪个坐标轴上。知识点三：求椭圆标准方程的常用方法1.待定系数法由题目的条件能确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数，这种方法叫做待定系数法，其主要步骤可归纳为“先定型，再定量”。例题：已知椭圆的两个焦点坐标分别为（-3,0），（3,0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于8，求它的标准方程解：设椭圆的标准方程为。由已知得，2=8，=4，又c=3，故19因此，所求的椭圆的标准方程为1.定义法先分析题设条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程，这种方法叫做定义法。例题：已知B、C是两个定点，︱BC︱=6，且△ABC的周长
4、等于16，求顶点A的轨迹方程。解：如图所示，建立坐标系，使轴经过点B,C，原点O与BC的中点重合。y由已知︱AB︱+︱AC︱+︱BC︱=16，︱BC︱=6，有︱AB︱+︱AC︱=10，即点A的轨迹是椭圆，且2c=6,2=16-6=10.∴c=3，=5，OCBA但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点共线不能构成一个三角形，∴点A的轨迹方程式知识点四：例题解析1.应用椭圆的定义解题例1：椭圆的焦点为和，点P在椭圆上，如果线段P的中点在y轴上，那么︱P︱是︱P︱的（）A．7倍B.5倍C.4倍D.3倍解析：不妨设（-3,0）、（3,0），由条件知P（3，），即︱P︱=
5、，由椭圆的定义知︱P︱+︱P︱=2=4，︱P︱=，︱P︱=，即︱P︱=7︱P︱.故选A。19例2△ABC中，BC=24，AC、BC边上的中线长之和等于39，求△ABC的重心的轨迹方程。分析：由一定长线段BC，两边上的中线长也均与定点B、C和△ABC的重心有关系，因此考虑以BC的中点为原点建立坐标系。解：如图所示，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。设M是△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知︱BM︱=︱BD︱，︱CM︱=︱CE︱。于是︱BM︱+︱CM︱=（︱BD︱+︱CE︱）=39=26.xXyXABXCX
6、OXDXEXMX根据椭圆的定义知，点M的轨迹方程是以B、C为焦点的椭圆∵2=︱BM︱+︱CM︱=26∴=13又2c=︱BC︱=24,∴c=12∴由于M是△ABC的重心，所有M不能跟B、C三点共线，故y≠0故所求的椭圆的标准方程为2.用待定系数法求椭圆的标准方程例3求合适下列条件的椭圆的标准方程（1）两个焦点的坐标分别是（-4,0）、（4,0），椭圆上任意一点P到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0,2），并且椭圆经过点（，）。分析：根据椭圆的焦点位置，再设出椭圆的标准方程，从而确定a，b的值。解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方
7、程为∵c=4，2=10∴=919∴所求的椭圆的方程为（2）∵椭圆的焦点在y轴上∴设它的标准方程为2=即=又c=2，∴=6∴所求椭圆的方程为例4求经过点（2，-3）且与椭圆由共同焦点的椭圆方程。分析：椭圆的焦点为（0，），因此可设所求椭圆的方程为，由题意确定即可。解：椭圆的焦点为（0，），则可设所求椭圆的方程为把x=2，y=-3代入，得，解得=10或=-2（舍去）∴所求椭圆的方程为总结：一般地，与椭圆共同焦点的椭圆可设其方程为1.求轨迹方程例5在△ABC中，A，B,C所对的边分别为，b，c，且B（-1,0）、C(1,0),求满足b＞＞c，且
