《不等式选讲校本教材》修订版全套教案

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1、数学选修课程南昌一中校本课程不等式选讲(修订稿)《不等式选讲》是根据教育部制订的《普通高中数学课程标准(实验)根据课程标准，本专题介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用。 一、内容与要求1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣

2、≥a。3．认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。 （1）证明柯西不等式的向量形式：

3、α

4、

5、β

6、≥

7、α·β

8、。 （2）证明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2。（3）证明：≥。4．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况： 5．用向量递归方法讨论排序不等式。 6．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。 7．会用数学归纳法证明贝努利不等式： (1＋x)n＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。 　　了解当n为实数时贝努利不等式也成立。8．会用上述不等式证明一些简单问

9、题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。 9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 二、内容安排南昌一中刘江华数学选修课程南昌一中校本课程 本专题内容分成四章本专题的内容是在初中阶段掌握了不等式的基本概念，学会了一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，第一章是“不等式和绝对值不等式”，它是本专题的最基本内容，也是其余三讲的基础．本讲的第一部分类比等式的基本性质，从“数与运算”的基本思想出发讨论不等式的基本性质，这是关于不等式在运算方面的一些最

10、基本法则．接着讨论基本不等式，介绍了基本不等式的一个几何解释：“直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高”，并把基本不等式推广到三个正数的算术—几何平均不等式．对于一般形式的均值不等式，则只作简单介绍，不给出证明．在此基础上，介绍了它们在解决实际问题中的一些应用，如最基本的等周问题，简单的极值问题等。第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义．绝对值三角不等式是一个基本的结论，教科书首先引导学生借助于实数在数轴上的

11、表示和绝对值的几何意义，引导学生从数的运算角度探究归纳出绝对值三角不等式，接着联系向量形式的三角不等式，得到绝对值三角不等式的几何解释，最后用代数方法给出证明．这样，数形结合，引导学生多角度认识这个不等式，逐步深化对它的理解．利用绝对值三角不等式可以解决形如的函数的极值问题，教科书安排了一个这样的实际问题。对于解含有绝对值的不等式，教科书只讨论了两种特殊类型不等式的解法，而不是系统地对这个问题进行研究。教科书引导学生探讨了形如或的不等式的解法，以及形如或的不等式的解法．学生通过这两类含有绝对值的不等式能够

12、基本学到解含有绝对值的不等式的一般思想和方法。第二章是“证明不等式的基本方法”．对于不等式的深入讨论必须首先掌握一些基本的方法，所以本讲内容也是本专题的一个基础内容。本讲通过一些比较简单的问题，介绍了证明不等式的几种常用而基本的方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法．比较法是证明不等式的最基本的方法，比较法可以分为两种，一种是相减比较法，它的依据是：　　另一种是相除比较法，是把不等式两边相除，转化为比较所得商式与1的大小关系，它的依据是：当b＞0时，南昌一中刘江华数学选修课程南昌一中校本课程 　　在

13、比较法的两种方法中，相减比较法又是最基本而重要的一种方法。 在证明不等式的过程中，根据对于不等式的条件和结论不同探索方向作分类，证明方法又可以分为分析法和综合法。在证明不等式时，可以从已知条件出发逐步推出结论的方法是综合法；寻找结论成立的充分条件，从而证明不等式的方法就是分析法．证明不等式的方法还可以分为直接证法和间接证法，反证法是一种间接证法．它从不等式结论的反面出发，即假设要证明的结论不成立，经过正确的推理，得出矛盾结果，从而说明假设错误，而要证的原不等式结论成立．在证明不等式的过程中，有时通过对不等

14、式的某些部分作适当的放大或缩小达到证明的目的，这就是所谓的放缩法．教科书对以上方法都结合实例加以介绍。本讲内容对进一步讨论不等式提供了思想方法的基础．本章的教学内容中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。 第三章是“柯西不等式和排序不等式”．本讲介绍两个基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它们的简单应用．柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用．教科书首