考研数学复习(高数与线性代数)

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1、第一章函数极限连续一．求极限方法小结极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念.有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型.1.知识要点（1）利用极限的定义求极限.（2）利用极限运算法则求极限.（3）利用不等式求极限.（4）利用变量代换法求极限.（5）利用两个重要极限求极限.（6）利用单调有界准则求极限.（7）利用函数的连续性求极限.（8）利用等价无穷小代换求极限.（9）利用单侧极限求极限.（10）利用罗必达法则求极限.（11）利用导数定义求极限.（12）利用定积分定义求极限.（13）利用公式求极限

2、.2．典型例子例1：设求证：存在，并求其值.例2：求（答案：1）例3：求（答案：1）例4：求（答案：0）例5：求（答案：）6例6：（答案：）例7：求常数，使（）例8：已知,证明数列收敛，并求出此数列的极限.例9：设，求（答案：）例10：求（答案：1）例11：求（答案：1）例12:（答案：1）例13：设，证明：当时，与是同阶无穷小量.例14：（答案：）例15：求（答案：）例16：求（答案：）例17：设在原点的邻域内二次可导，且，求6及（答案：）例18：设在的某邻域内具有二阶导数，且，求及.（答案：，）例19：设，，均为非负数列，且，，，则必有对任意成立；

3、对任意成立；极限不存在；极限不存在.（2003年数学一）例20：已知，求（答案：）例21：设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且，，.证明：存在惟一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小.例22：求极限（答案：）例23：已知当时与是等价无穷小，求常数和.（答案：）例24：设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是若收敛，则收敛.若单调，则收敛.若收敛,则收敛.若单调，则收敛.6(答案：B)（2008年数学一）例25：求极限（答案：）（2008年数学一）例26：(I)证明:对任意的正整数,都有(II)设,证明数列收敛.（2011年数学一、二）二．函数的

4、连续性1．知识要点1．函数在一点的连续性：在点处连续在点处连续2．连续函数的运算3．初等函数的连续性：基本初等函数在定义区间内是连续的；初等函数在定义区间内是连续的4．函数的间断点和间断点的分类5．闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值定理2．典型例子例1：求函数的间断点，并指出其类型.例2：讨论函数在定义域内是否连续.例3：设其中具有连续导数且，试确定的值使连续，并讨论是否连续.（答案：）例4：设在内连续，，且，试证明至少存在一点，使.6例5：设在上连续，且，证明（1）存在，使；（2）存在，使.例6：设函数在上连续，在内可导，且，试证必存在，使（20

5、03年数学三）例7：设函数问为何值时，在处连续；问为何值时，是的可去间断点？（2003年数学二）例8：设试补充定义使得在上连续。（答案：）（2003年数学三）例9：函数在下列哪个区间内有界.（）（）（）（）（2004年数学三）例10：设在内有定义，且则（）必是的第一类间断点.（）必是的第二类间断点.（）必是的连续点.（）在处的连续性与的取值有关.6例11：设在连续，且，证明：，使得.6第二章一元函数微分学一．导数与微分1．知识要点1．导数的定义：导数反映了客观运动过程的瞬时变化率2．导数的物理意义、几何意义：分别表示变速直线运动的瞬时速度、曲线的切线的

6、斜率.曲线在点处的切线方程为：法线方程为：3．在经济学中，的边际函数是指关于自变量的变化率。例如表示边际成本函数，表示边际收入函数，表示边际利润函数.4．函数可导与连续的关系：如果函数在点可导，则在点处连续。但是，连续却不一定可导.5．求导法则：导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程的求导法则.6．微分的定义与运算法则.2．典型例子例1：求函数的一、二阶导数并讨论其连续性.例2：设（为实数），问在什么范围内（1）连续；（2）可导；（3）导数连续；（4）二阶可导.例3：设是可导函数，对于任意实数有，且13，求

7、函数的表达式.例4：求的不可导点的个数.（答案：2）例5：设，则在点可导的充分必要条件是（）存在；（）存在.（）存在.（）存在.例6：设是由方程所确定的隐函数，求.（答案：）例7：设且二次可微，，求.（答案：）例8：设函数的导数与二阶导数均存在，并且均不为零，其反函数为，求.（答案：）例9：作已知曲线的切线，使其平行于直线，使求此切线方程.（答案：）例10：已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于的切线与法线的直线方程.（答案：，）例11：设在上连续，且，则下列结论中错误的是（）至少存在一点，使得；（）至少存在一点，使得；（）至少存在一点，使得；（）至

8、少存在一点，使得.（答案：（））（2004年数学三）例12：以下命题中，正确的是13（）若在内