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1、集合论与图论习题册软件基础教研室刘峰2015.0221第一章集合及其运算习题1.写出方程的根所构成的集合。2.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A，；b)对每个集A，；c)对每个集A，；d)对每个集A，；e)对每个集A，；f)对每个集A，；g)对每个集A，；h)对每个集A，；i)对每个集A，；j)对每个集A，；k)对每个集A，；l)对每个集A，；m)对每个集A，；n)；o)中没有任何元素；p)若，则q)对任何集A，；r)对任何集A，；s)对任何集A，；t)对任何集A，。答案：3.设有n个集合且，试证：。4.设，试求？5.设S恰有n个元素，证明有个元素。21习
2、题6.设A、B是集合，证明:。7.设A、B是集合，试证。9.设A，B，C为集合，证明：。10.设A，B，C为集合，证明：。11.设A，B，C为集合，证明：。12.设A，B，C都是集合，若且，试证B=C。15.下列命题是否成立？说明理由（举例）。(1)；(2)；(3)。（答案：都不正确）2116．下列命题哪个为真？答案： _________a)对任何集合A,B,C，若，则A=C。b)设A,B,C为任何集合，若，则B=C。c)对任何集合A,B，。d)对任何集合A,B，。e)对任何集合A,B，。f)对任何集合A,B，。17．填空：设A,B是两个集合。a)_________
3、_______；b)_________________c)_________________；d)_________________。18．设A，B，C为三个集合，下列集合表达式哪一个等于？答案：____（a）；（b）；（c）；（d）；（e）。习题20．设A,B,C为集合，并且，则下列断言哪个成立？(1)；(2)；(3)；(4)。答案：21．设A,B,C为任意集合，化简习题24．设。求。2125．设A,B为集合，试证：A×B＝B×A的充要条件是下列三个条件至少一个成立：（1）；（2）；（3）。26．设A,B,C,D为任四个集合，证明：29．设是三个任意集合，证明：。
4、30．设A,B为集合，下列命题哪些为真？（1）且；（2）或；（3）；（4）若，则；（5）若，则。 答案：______31．设A有m个元素，B有n个元素，则A×B是多少个序对组成的？A×B有多少个不同的子集？ 答案：_______ 32．设是两个集合，，试证：若，则。习题33．设A,B是两个有限集，试求34.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。问此班中至少有百分之几的学生正同时学德文和法文？21第二章映射习题习题1.设A，B是有穷集，。则（1）计算；（2）从A到A有多少个双射？习题3.证明：从一个边长为1的等
5、边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。5.证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。6.设为的任一排列，若n是奇数且，则乘积为偶数。习题7.设，，证明8.设，，，证明。2110.设。以下四个小题中，每个小题均有四个命题，这四个命题有且仅有一个正确，请找出正确的那个。（1）（a）若，则未必在A中；（b）若，则；（c）若，则；（d）若，则。（2）（a）；（b）；（c）；（d）。（3）（a）；（b）；（c）；（d）上面三个均不对。（4）（a）；（b）；（c）若
6、；（d）若。习题15.设，，，试求。习题17．设，试构造两个映射和g：，使得（1），但；（2），但。18.设则21（1）若存在唯一的一个映射，使得，则是可逆的吗？（2）若存在唯一的一个映射，使得，则是可逆的吗？20.是否有一个从到的一一对应，使得，但？习题21.设，求。22.将置换分解成对换的乘积。21第三章关系习题习题1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的二元关系？3.设R，S是X上的二元关系，下列命题哪些成立：a)若R与S是自反的，则分别也是自反的；b)若R与S是对称的，则分别对称的
7、；c)若R与S是传递的，则也是传递的；d)若R与S不是自反的，则也不是自反的；e)若R与S是反自反的，则也是反自反的；f)若R是自反的，则也是反自反的；g)若R与S是传递的，则RS是传递的。答案：________________________________________________4.实数集合上的“小于”关系是否是反自反的？集合X的幂集上的“真包含”关系是否是反自反的？为什么？5.设R、S是X上的二元关系。证明：（1）；（2）；（3）；（4）若，则；216．设R是X上的二元关系，证明：是对称的二元关系。7．设R为上的是反自反的和传递的二元关系,证明：
