2002考研数一真题及解析

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1、20022002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)(2)已知函数由方程确定，则.(3)微分方程满足初始条件的特解是.(4)已知实二次型经正交变换可化成标准型，则.(5)设随机变量服从正态分布且二次方程无实根的概率为，则二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数的下面4条性质：①在点处连续，②在点处的两个偏导数连续，③在点处可微，④在点处的两个偏导数存在.若用表示可由性质推出，则有()(

2、A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.(2)设且则级数()(A)发散.(B)绝对收敛.(C)条件收敛.(D)收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数在内有界且可导，则()(A)当时，必有.212002(B)当存在时，必有.(C)当时，必有.(D)当存在时，必有.(4)设有三张不同平面的方程它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为()(5)设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则()(A)必为某一随机变量的概率密度.(B)必为某一随机变量的概率密度.(C)必为某一随机变量的

3、分布函数.(D)必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数在的某邻域内具有一阶连续导数，且若在时是比高阶的无穷小，试确定的值.四、(本题满分7分)已知两曲线与在点处的切线相同，写出此切线方程，并求极限五、(本题满分7分)212002计算二重积分其中.六、(本题满分8分)设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为.记(1)证明曲线积分与路径无关；(2)当时，求的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的区域为

4、，小山的高度函数为.(1)设为区域上的一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此反向导数的最大值为，试写出表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说，要在的边界线上找出使(1)中的达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关，.如果，求线性方程组的通解.十、(本题满分8分)设为同阶方阵，212002(1)如果相似，试证的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.十一、(本题满

5、分8分)设随机变量的概率密度为对独立地重复观察4次，用表示观察值大于的次数，求的数学期望.十二、(本题满分8分)设总体的概率分布为0123其中是未知参数，利用总体的如下样本值求的矩阵估计值和最大似然函数估计值.2120022002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】1【详解】先将其转化为普通定积分，求其极限即得广义积分.(2)【答案】-2【详解】是由确定的的函数，两边对求导，所以两边再对求导，得把代入，得，，代入，得.(3)【答案】【详解】方法1：这是属于缺的类型.命.原方程化为，得或，即，不满足初始条件，弃之；所以所以，，分离变量得，解之得

6、即由初始条件，可将先定出来：.于是得212002解之得，.以代入，得，所以应取“+”号且.于是特解是.方法2：将改写为，从而得.以初始条件代入，有，所以得.即，改写为.解得.再以初值代入，所以应取且.于是特解.(4)【答案】2【详解】方法1：二次型的对应矩阵，经正交变换，可化成标准型，故为正交矩阵，有，且对实对称矩阵，有，故，即因为矩阵的个特征值之和等于它的主对角元素之和，，相似矩阵具有相同的特征值，故有，得.方法2：二次型的对应矩阵，经正交变换，可化成标准型212002，故为正交矩阵，有，且对实对称矩阵，有，即相似矩阵具有相同的特征值，知0是的特征值，根据特征值的定义，

7、有，得或，(1)又6是的特征值，根据特征值的定义，有，由(对应元素相减)两边取行列式，得或(2)因为(1)，(2)需同时成立，取它们的公共部分，得.212002方法3：的对应矩阵为，经正交变换，可化成标准型，故为正交矩阵，有，且对实对称矩阵，有，即相似矩阵具有相同的特征值，知的特征值，其中一个单根是6，一个二重根应是0，直接求的特征值，即由(对应元素相减)两边取行列式，其中单根为，二重根为，故，及，故知.方法4：的对应矩阵为，经正交变换，可化成标准型，故为正交矩阵，有，且对实对称矩阵，有，即212002故，因，故，且，故应取.