一轮复习配套讲义：第6篇 第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

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1、第3讲　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[最新考纲]1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一

2、半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题辨析感悟1．对二元一次不等式(组)表示的平

3、面区域的认识(1)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0.(√)(2)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy＜0表示．(√)(3)(教材习题改编)已知变量x，y满足约束条件则其表示的平面区域的面积为4.(√)2．对简单的线性规划问题的理解(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(√)(5)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×)(6)(2013·湖南卷改编)若变量x

4、，y满足约束条件，则x＋2y的最大值是.(√)[感悟·提升]1．确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2．求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.学生用书第100页考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)(2014·济南模拟)不等式组表示的平面区域的面积为(　　)．A．4B．1C．5D．无穷大(2)(2013·安徽卷)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定

5、点A，B满足

6、

7、＝

8、

9、＝·＝2，则点集{P

10、＝λ＋μ，

11、λ

12、＋

13、μ

14、≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是(　　)．A．2B．2C．4D．4解析　(1)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.(2)由

15、

16、＝

17、

18、＝·＝2，知<，>＝.设＝(2,0)，＝(1，)，＝(x，y)，则解得由

19、λ

20、＋

21、μ

22、≤1得

23、x－y

24、＋

25、2y

26、≤2.作可行域如图．则所求面积S＝2××2×2＝4.答案　(1)B　(2)D规律方法二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不

27、等式所表示的半平面区域的公共部分，画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定准确，其基本方法是“直线定界、特殊点定域”．【训练1】若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)．A.B．(0,1]C.D．(0,1]∪解析　不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)，求A，B两点的坐标分别为和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a的a的取值范围是0＜a≤1或a≥.答案　D考点二　线性目标函数的最值【例2】(1)(2013·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为(　　)．A．－7B．－4C．1D．2(2)(2013·新课标全

28、国Ⅱ卷)已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)．A.B.C．1D．2解析　(1)由x，y满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的△ABC，作出直线y＝2x，经过平移得目标函数z＝y－2x在点B(5,3)处取得最小值，即zmin＝3－10＝－7.故选A.(2)由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC)，由得A(1，－2a)，当直线2x＋y－z＝0过点A时，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得