数学思想方法的几次重大转折,模糊数学介绍

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1、第三讲，数学思想方法的几次重大转折，模糊数学介绍一，导引历史表明，数学的发展不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。数学思想方法的四次重大转折：从算术到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，就充分说明这一点。分析这四次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。二，从算术到代数算术和代数，作为最基础而又最古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系。算术是代数产生的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物。从算术发展到代数，是人们对数及其运算在认识上的一次突破，也是数学在

2、思想方法上发生的一次重大转折。1．1，代数解题法的产生算术解题法是人类文化发展的初期阶段就产生了，它标明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步。然而，算术解题法却带有很大的局限性。这是因为，它只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许有抽象的未知数参加。结果，产生出新的解题法——代数解题法。1．2，代数解题法的基本思想在算术解题法中，未知数是不允许作为运算对象的，它没有参加运算的权利。而在代数解题法中，所列出的方程作为一种条件等式，已是由已知数和未知数构成的有机统一体。在这个统一体中，未知数也变成了运算对象

3、，并和已知数一样，可以接受和执行各种运算指令。解方程的过程，实质上就是未知数和已知数进行重新组合的过程，也是未知数向已知数转化的过程。解方程是代数学中最基本的内容，在数学中占有重要的地位。它的出现不仅极大地扩充了数学应用的范围，使得许多算术解题法不能解决的问题能够得以解决，而且对后来整个数学的进展产生巨大的影响。三，从常量数学到变量数学算术，初等代数，初等几何和三角构成了初等数学的主要内容。初等数学以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象，因此这部分称为常量数学。运用常量数学可以有效地描述事物和现象相对稳定地状态。可是，

4、对于描述运动和变化却无能为力，于是便产生了从量上描述事物运动和变化规律的数学——变量数学，近代数学本质上可以说是变量数学。从常量数学到变量数学，是数学在思想方法上的又一次重大转折。3.1，自然科学中研究变量的几个典型问题第一，描述非匀速运动物体的轨迹（象行星绕日运动，抛体运动等生成且随时间而变化着的轨迹）。第二，求变速运动物体的速度或路程（要求精确地求出变速运动的物体在某一时刻的瞬时速度，或在某一段时间内所经过的路程）。第三，求曲线在任一点的切线。第四，求变量的极值（即求变量在某种条件下所能达到的最大值或最小值）。第五，计

5、算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心、变密度物体的重量以及大质量物体之间的引力等。上述五类问题有一个共同的特征，就是要求把“变量”作为研究对象。这些问题成为十六、十七世纪数学研究的中心课题，正是对这个中心问题的深入研究，导致了变量数学的产生。3．2、变量数学的产生及其意义变量数学产生于十七世纪，它大体上经历了两个具有决定性的重大步骤。第一个步骤是解析几何的产生，解析几何的创立是变量数学发展的第一个里程碑。第二个步骤是微积分的创立。首先，变量数学的产生，使数学自身在思想方法上发生了重大的变革，由此带来整个数学面貌的

6、根本性改观。其次，变量数学的产生，使自然科学描述现实物质世界的运动和变化过程成为可能。第三，变量数学的产生具有重大的哲学意义，变量数学的基本概念变量、函数、极限、导数和微分，以及微分法和积分法，从本质上看，不外是辩证法在数学上的运用。四，从必然数学到或然数学从必然数学到或然数学，是数学思想方法的又一次重大转折。所谓必然数学，是指描述和研究现实世界的必然现象及其规律的那部分数学。它在科学技术，社会实践以及日常生活中有着广泛的应用，成为人们认识和改造世界的有力工具。然而，在研究和解决现实世界大量存在的偶然现象中的量及其关系问题

7、上，必然数学无能为力了，需要创造新的数学方法。于是一个新的数学领域——或然数学便被开拓出来了，它是研究随机现象及其规律的数学学科。4．1．随机现象及其统计规律在现实世界中存在两类性质截然不同的现象：一类是必然现象，即这种现象在一定条件下必然会发生某一结果。另一类是随机现象，即这种现象在一定条件下可能发生某一结果，也可能不发生这一结果。对于随机现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用必然数学来加以定量描述。例如，投掷一枚质量均匀的硬币，要预先计算出它一定会出现正面或一定会出现反面，是无法办到的。但是，这并不意味着

8、随机现象不存在规律，也不意味着我们不能从数量上描述和研究随机现象的规律。实验表明，多次重复地投掷一枚质量均匀的硬币，出现正面的次数与总投掷次数之比总是接近于，而且随着投掷次数的增加，这个比越来越接近于。事实表明，随机现象从个体上看，似乎没有什么规律存在，但当它们大量出现时，从总体上却呈现一种总体规律性，