无理数定义及其研究

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1、存档编号________赣南师范学院科技学院学士学位论文无理数定义及其比较研究系别数学与信息科学系届别2014届专业数学与应用数学学号1020151208姓名×××指导老师×××完成日期2014年4月12目录内容摘要1关键词1Abstract1Keywords11引言22无理数的定义22.1戴得金分割定义32.2柯西基本序列定义42.3有理区间套定义52.4十进制小数定义62.5有界单调有理数列定义93无理数定义对比研究103.1无理数定义的异同点103.2无理数定义的优缺点113.3无理数定义的等价性11参考文献14内容摘要：无理数是有理数域扩充到实数域的重要内容，也是贯穿在我们中学及大

2、学学习过程的重要内容。只有完全了解无理数，才能更好地掌握无理数的定义。本文主要谈及无理数的各种定义，并且对于这些定义作出对比及研究。通过对无理数定义的不断比较研究，发现这些定义有着我们意想不到的地方。找到无理数的定义之后，接下来就去探索定义对于中学生的影响。关键词：无理数定义研究Abstract:irrationalnumberisarationalnumberdomainextensiontotheimportantcontentoftherealnumber,isrunthroughoursecondaryanduniversityeducationanimportantpartoft

3、helearningprocess.Onlyfullyunderstandirrationalnumbers,inordertobettergraspthedefinitionofirrationalnumbers.Thisconcernsmainlythevariousdefinitionsoftheirrationalnumber,andthesedefinitionsforcomparisonandstudy.Continuallythroughthedefinitionoftheirrationalnumberacomparativestudy,foundthatthosedefi

4、nitionshadneverimagined.Afteryoufindthedefinitionoftheirrationalnumber,nexttoexplorethedefinitionofinfluenceofmiddleschoolstudents.Keywords：irrationalnumberdefinitionstudy1引言1．1研究意义无理数是有理数系扩展到实数系的重要内容，在实数系中起着重要的枢纽地位。我国的全日制义务教育数学课程标准(实验稿)指出:1、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。2、能用有理数估计一个无理数的大致范围。可以知道无理数是中

5、学数学教学的重要内容之一。所以无理数的定义是一个必不可少的研究领域。1.2无理数的发展历史公元前500年，古希腊的毕达哥拉斯学派的弟子希帕苏斯发现了一个惊人的事实，一个正方形对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”（指可公度量数即有理数）的哲理大相径庭。希帕苏斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限延伸直线等同看待，有理数并没有布满数轴上所有的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的算术连续系统

6、的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机。由无理数引发的第一次数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国著名的数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并将实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了在数学史上持续2000多年的第一次大危机。2无理数的定义形式上不同的实数理论也就因为确定空隙的方法不同而互相区分，它们主要有：戴德金用有理数的分割的方法，康托尔用有理数的基本列的方法，魏尔斯特拉斯用无穷（非循环）十进小数的方法，以及用端点为有理数点的闭区间套和有界单调有理数列的方法。2．1

7、戴德金分割定义2.1.1戴德金方法定义2.1设都是有理数集的子集，且满足下列条件：。称为有理数集的分划，简称有理分划，表为，称为有理分划的下组，为有理分划的上组。一个有理分划满足三条：第一条是说，将有理数集分为两个子集，且都是非空集。第二条是说，下组中的数都小于上组中的数，即按照有理数集的序将有理数集分为两组。第三条是说，下组中任意一个有理数，中总存在比大的有理数，即中不存在最大的有理数。有下面定义：定义2.2对任意有理