第一章部分习题及答案

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1、精品课【高等几何】第一章部分习题及答案1.证明线段的中点是仿射不变性.图2---3证明取等腰三角形ABC(AB=AC)和不等边三角形A′B′C′,如图2--3.由平面仿射几何的基本定理有一个仿射变换T,使T(A)=A',T(B)=B',T(C)=C'.设D为线段BC中点,则AD⊥BC,且∠α=∠β,设T(D)=D’,由T保留简比不变,即（BCD）=（B′C′D′），于是==－1，因此，D′为线段B′D′中点，即线段中点是仿射不变性。2．证明三角形的中线是仿射不变性。图2——4证明设仿射变换T将ABC变为A′B′C′，D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点，由于仿射

2、变换保留简比不变，所以D′=T（D），E′=T（E），F′=T（F）分别是B′C′、C′A′、A′B′的中点，因此，A′D′、B′E′、C′F′是A′B′C′R的三条中线，如图2——4，即三角形的中线是仿射不变性。精品课【高等几何】3．证明三角形的重心是仿射不变性。证明如图2——4所示，设G是ABC的重心，且G′=T（G）。因为G∈AD，由性质2、1.2得G′∈A′D′；又因为（AGD）=（A′G′D′），即==同理==∴G′是A′B′C′的重心，即三角形的重心是仿射不变性。4．角的平分线是不是仿射不变量？答：不是。如图2——6所示。图2——6取等腰ABC（AB=A

3、C）由平面仿射几何的基本定理，存在仿射变换T，使T（A）=A′、T（B）=B′、T（C）=C′。设D为线段BC中点，则AD⊥BC，且∠α=∠β，但在A′B′C′中∠α′≠∠β′，否则，A′B′=A′C′，这与A′B′C′为不等腰三角形矛盾。因此，角平分线不是仿射不变性。5．两直线垂直是不是仿身不变量？答：不是。在上题中，AD⊥BC但A′D′不垂直于B′C′，这说明两直线垂直不是不变性。6．证明梯形在仿射对应下仍为梯形。证明如图2——7所示，精品课【高等几何】如图2——7设在仿射对应下，梯形ABCD（AB∥CD，AD‖BC）功能四边形A′B′C′D′相对应，由于仿射对

4、应保持平性不变，所以A′B′∥C′D′,A′D′‖B′C′,故A′B′C′D′为梯形，即梯形在仿射对应下仍为梯形。7．给定点A、B，作出点C使：（1）(ABC)=4(2)(ABC)=-(3)(ABC)=-1解(1)∵(ABC)==即=3，故点C在AB延长线上，且BC=AB，如图2——8所示。（2）∵（ABC）==-,∴=-,即=-。若线段AB七等分，点C在AB内部且距点A三等分点处，如图2—9所示图2——9（3）∵（ABC）=-1，即=-1，∴点C为线段AB的中点如图2—10所示精品课【高等几何】图2——108．经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线ｘ+3

5、ｙ-6=0截于P，求简比（ABP）。解设=λ，则点P的坐标为P（，），因为点P在直线x＋3y－6＝0上，所以有+3（）－6=0解得λ＝1所以（ABP）=-=-λ=-19.求仿射变换式使直线x＋2y－1＝0上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）。解设所求仿射变换为在已知直线x+2y-1=0上任取两点，例如取（1，0）、（3，-1），在仿射变换下，此二点不变。而点（1，-1）变为（-1，2），把它们分别代入所设仿射变换式，得，由以上方程联立解得：＝2，=2,=-1,=-,=-2,=故所求的仿射变换为：10.应用仿射变换求椭圆的面积.解如图2—14所示,精品

6、课【高等几何】图2——14设在笛氏直角坐标系下，有椭圆，如果经过仿射变换=≠0则椭圆的对应图形便是圆椭圆内的三角形OAB中，O（0，0），A（α，0），B（b,0）,经过以上的仿射变换，三角形OAB的对应图形为三角形OA′B′，其中A≡A′，B′（0，α）。根据定理2.2.5的推论2,就得即因此，椭圆面积=