04年上海交通大学 数学分析答案

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1、2004年上海交通大学数学分析（博士家园）解答库感谢xiaoxiangmaths提供一（14）设，证明证因，故利用Stolz公式，，得二（14）证明在上不一致连续.证因，，，，故在上不一致连续.三（14）设在上连续，且＝，证明，使＝证作（），则在上连续，因＝，故，情形1若，则取，则＝，情形2若，则因，故由介值定理知，存在，使得，即＝.6四（14）证明不等式＜＜，证作，，则因，故在上严格单调减少，而，，因此，在上，有，即＜＜.五(14)设收敛,且在上一致连续，证明=0.证因在上一致连续，故，，使得当且时，有，令，则由

2、积分第一中值定理得，，使得.因收敛，故级数收敛，从而，即，也即，故对上述的，存在，使得当时，.取，则当时，因故存在惟一的，使得，易见，且6，从而六（14）设，，，证明级数收敛.解.，因，故只要证收敛即可.七（14）设在上连续，=0,，，证明在上一致收敛.八（12）设在上连续，证明＝.证（1）（令，则，（2）因在上连续，故，使得，，（3），记，不妨设，则，（4）6（5）因在上连续，故在上一致连续，故对上述的正数，，当且时，有（6）因，记，则存在正整数，使得当时，有，（7）当时，有，从而当时，有（8）由（3）和（7）知

3、，当时，有九（12）设>0，＝＋，证明＝1证（1）要证＝1，只要证，即只要证，即证（2）因＝＋，故，因此只要证，即只要证6（3）由知，单调增加，假如有上界，则必有极限，由＝＋知，＝＋，因此，矛盾.这表明单调增加、没有上界，因此.（证完）十（28）计算下述积分：1．，其中D是矩形区域，解记，62．，其中S是曲面上的那部分正侧.解记（取下侧），，则，由高斯公式知，6