数字信号处理实验报告6_离散傅里叶变换及其快速算法

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1、实验六离散傅立叶变换及其快速算法一、实验目的：掌握快速傅立叶变换的应用方法；掌握离散余弦变换的应用方法；掌握Z变换的应用方法；了解Chipz变换的基本概念；掌握Hilbeit变换的初步应用；了解倒谱变换的基本概念。二、实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。三、实验内容：3.1快速傅立叶变换（FFT）DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。但是直接计算DFT的运算量与变换的长度N的平方成正比，当N较大时，计算量太大。在快速傅里叶变换（简称FFT）出现之前，直接用DFT算法进行谱分析和信

2、号的实时处理是不实际的。FFT使得DFT的运算效率大大提高，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，推动了数字信号处理技术的发展。FFT算法的MATLAB实现MATLAB提供fft函数来计算x(n)的DFT,fft函数是有机器语言，而不是以MATLAB指令格式写成的，因此它的执行速度很快。格式：y=fft(x)，计算信号x的快速傅里叶变换y。当y为矩阵（多通道信号）时，计算x中每一列信号的离散傅里叶变换。当x的长度为2的幂时，有基2算法，否则采用较慢的分裂基算法。Y=fft(x,n)，计算n

3、点FFT，当x的长度大于n时，截断x否则补零。Y=fft(x,n),计算n点FFT，当x的长度大于n时，截断x，否则补零。IFFT可由ifft函数来计算。在信号处理中，DFT的计算具有举足轻重的地位，，信号的相关、滤波、谱估计等都要通过DFT来实现。然而，当很大的时候，求一个点的DFT要完成次复数乘法和次复数加法，其计算量相当大。1965年J.W.Cooley和J.W.Tukey巧妙地利用因子的周期性和对称性，构造了一个DFT快速算法，即快速傅立叶变换(FFT)。概念通过前面的知识，已经知道有限列长为的序

4、列的变换为其逆变换为由于MATLAB软件本身的特点，序列或向量元素下标从1开始记录，而不是从0开始。因此，上述两式在MATLAB中相应的表达式为而下面所讨论使用的快速傅立叶变换并不是与不同的另外一种变换，而是为减少计算次数的一种快速有效的算法。这种快速算法，主要是利用了下面两个特性使长序列的分解为更小点数的所实现的。利用的对称性使运算中有些项合并利用的周期性和对称性使长序列的分解为更小点数的快速傅立叶变换算法正是基于这一基本思想而发展起来的。快速傅立叶变换算法形式很多，但是基本上可以分为两大类，即按时间抽

5、取（Decimation－In－Time，简称）法和按频率抽取（Decimation－In－Frequency）法。在这里，以时间抽取的算法（库利－图算法）为例，简单说明一下算法的算法原理。为了讨论方便，设，其中为整数。如果不满足这个条件，可以认为得加上若干零点来达到。由的定义知其中是列长为的输入序列，把它按的奇偶分成两个序列又由于，则上式表明了一个N点的DFT可以被分解为两个N/2点的DFT。同时，这两个N/2点的DFT按照上式又可以合成为一个N点的DFT。为了要用点数为N/2点的X(k)、X(k)来表

6、达N点的X(k)值还必须要用W系数的周期性，即这样可得即X（同理可得X（另外再加上W的对称性就可以将X(k)的表达式分为前后两个部分：前半部分后半部分由以上分析可见，只要求出区间内各个整数k值所对应的X(k)、X(k)的值，即可求出区间内的全部X（k）值，这一点恰恰是FFT能大量节省计算的关键所在。【实例-1】一被噪声污染的信号，很难看出它所包含的频率分量，如一个由50Hz和120Hz正弦信号构成的信号，受到均值随机噪声的干扰，数据采样率为1000Hz，通过FFT来分析其信号频率成分，用MATLAB实现如

7、下：t=0:0.001:0.6;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+randn(1,length(t));Y=fft(y,512);subplot(211);plot(x);title('受噪声污染的信号');n=0:511;f=1000*n/512;subplot(212);plot(f,abs(Y));title('FFT');【实例-2】用FFT分析语音信号的频谱。结果如下，用MATLAB实现如下。loadmtlb;subplot(221);plot(mtlb)

8、;title('原始语音信号');y=fft(mtlb);subplot(222);plot(abs(y));title('FFT变换');y(abs(y)<50)=0;x=ifft(y);subplot(223);plot(abs(y));title('去掉幅值小于1的FFT变换');subplot(224);plot(real(x));title('重构语音信号');3.2函数应用MATLAB为计算数据的离散快速傅立叶变换