2005年全国硕士研究生入学考试数学考题及解析2

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1、2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设，则=.【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】方法一：=，于是，从而=方法二：两边取对数，，对x求导，得，于是，故=【评注】幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.（2）曲线的斜渐近线方程为.【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=，于是所求斜渐近线方程为【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，

2、是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当时，极限不存在，则应进一步讨论或的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑的情形.（3）.15【分析】作三角代换求积分即可.【详解】令，则=【评注】本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等.（4）微分方程满足的解为.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为，于是通解为=，由得C=0，故所求解为【评注】本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外，本题也可如下求解：原方程可化为

3、，即，两边积分得，再代入初始条件即可得所求解为（5）当时，与是等价无穷小，则k=.【分析】题设相当于已知，由此确定k即可.15【详解】由题设，==，得【评注】无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.（6）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有=，于是有【评注】本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若，，，15则有二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项

4、中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当时，；当时，；当时，即可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).【评注】本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点.（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(

5、x)是单调函数f(x)是单调函数.[A]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=,排除(D);15故应选(A).【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？（9）设函数y=y(x)由参数方

6、程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A).(B).(C).(D).[A]【分析】先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】当x=3时，有，得（舍去，此时y无意义），于是，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：，令y=0,得其与x轴交点的横坐标为：,故应(A).【评注】注意本题法线的斜率应为-8.此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错.（10）设区域，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则(A).(B).(C).(D).[D]【分析】由于未知f(x)的

7、具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的.本题可考虑用轮换对称性.【详解】由轮换对称性，有==应选(D).15【评注】被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析.特别，当具有轮换对称性（x,y互换，D保持不变）时，往往用如下方法：（11）设函数,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A).（B）.(C).(D).[B]【分析】先分别求出、、，再比较答案即可.【详解】因为，，于是，，，可见有，应选(B).【评注】本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为做题技巧，也可取，则，容易验算