第110讲 材料力学(六)(2010年新版)

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1、[例5－6—1]图5—6—2所示悬臂梁，承载如图。试列出剪力方程、弯矩方程并作V、M图。[解]因梁上荷载不连续故需分段列方程。用任意截面nn截开梁，取左部为脱离体，如图(b)所示。由∑Y=0，同理用任意截面kk截开梁，取左部为脱离体如图(c)所示。由∑Y=0，根据剪力方程、弯矩方程作图。对于线性方程只需算出各段的端值然后连直线即可。V、M图如图(d)、(e)所示。[例5—6—2]写出图示梁的剪力方程和弯矩方程，井作剪力图和弯矩图。10页[解]1．求支座反力故所求的支座反力正确。2．分段建立剪力方程和弯

2、矩方程10页3．作剪力图和弯矩图根据AC段，CB段剪力方程绘制剪力图AC段V为常量，故y图为水平线。CB段V为一次函数，因而y图为斜直线：只需确定两个截面V值。根据AC段，CB段弯矩方程绘制弯矩图AC段M为一次函数，因而M图为一斜直线，只需确定两个截面M值。CB段M为二次抛物线，只少要确定三个截面M值，然后用光滑曲线连起来。抛物线顶点在V=2qa-qx=0处x=2a[例5－6－3]根据弯矩、剪力和荷载集度间的关系作图5－6－6所示梁的剪力图和弯矩图。10页[解]首先求支座反力(悬臂梁可以不求)Rb=4

3、kN(↑)MB=4kNm(顺时针)根据q、V、M关系作V、M图通常步骤为1．分段根据梁上荷载不连续点(集中力，集中力偶作用处，分布荷载起讫点)为界点。2．定形根据各段荷载情况，定出V、M图形状。3．定控制截面V、M值用截面法或用积分关系式10页本例题的分段和定V、M形状情况见下表。有关控制截面值确定如下：V图AC段定两个控制截面值CB段定一个控制截面值Vc=已求出M图AC段只少定三个控制截面值因为A截面处V=0，M有极值，即为抛物线顶点。CB段只要定二个控制截面值因C截面作用有集中力偶，故M图有突变1

4、0页第七节弯曲应力弯曲正应力正应力强度条件（一）纯弯曲梁的横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲，称为纯弯曲。（二）中性层与中性轴中性层杆件弯曲变形时既不伸长也不缩短的一层。中性轴中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。中性轴位置当杆件发生平面弯曲，且处于线弹性范围时，中性轴通过横截面形心，且垂直于荷载作用平面。10页中性层的曲率杆件发生平面弯曲时，中性层(或杆轴)的曲率与弯矩间的关系为式中ρ为变形后中性层(或杆轴)的曲率半径；EI2为杆的抗弯刚度，轴z为横截面的中性轴。（三）平面弯曲杆件横

5、截面上的正应力分布规律正应力的大小与该点至中性轴的垂直距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧为压应力，如图5—7—1(a)。计算公式任一点应力最大应力式中M为所求截面的弯矩，Iz为截面对中性轴的惯性矩，Wz为抗弯截面系数。Wz是一个只与横截面的形状及尺寸有关的几何量。对于矩形截面：10页对于圆形截面：其余Wz按式Wz＝Iz/ymax计算。讨论：1，公式适用于线弹性范围、且材料在拉伸和压缩时弹性模量相等情况。2．在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面；横力弯曲时，由于剪应力的存在，横截面发生翘曲，但精确

6、研究指出，工程实际中的梁，只要跨度与截面高度之比L／h>5，纯弯曲时的正应力公式仍适用。（四）梁的正应力强度条件强度条件梁的最大工作正应力不得超过材料的许用正应力，即注意，当梁内σtmax≠σcmax，且材料的[σt]≠[σc]时，梁的拉伸与压缩强度均应得到满足。弯曲剪应力剪应力强度条件（一）矩形截面梁的剪应力两个假设：1．剪应力方向与截面的侧边平行。2．沿截面宽度剪应力均匀分布(见图5—7—2)。计算公式式中V为横截面上的剪力，b为横截面的宽度，Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩，Sz*为横截面上距中

7、性轴为y处横线一侧的部分截面对中性轴的静矩。10页最大剪应力发生在中性轴处（二）其他常用截面图形的最大剪应力工字型截面式中d为腹板厚度，工字型钢中，Iz/可查型钢表。圆形截面环形截面最大剪应力均发生在中性轴上。（三）剪应力强度条件梁的最大工作剪应力不得超过材料的许用剪应力，即式中Vmax为全梁的最大剪力；为中性轴一边的横截面面积对中性轴的静矩；b为横截面在中性轴处的宽度；Iz为整个横截面对中性轴的惯矩。三、梁的合理截面梁的强度通常是由横截面上的正应力控制的。由弯曲正应力强度条件10页，可知，在截面积A

8、一定的条件下，截面图形的抗弯截面系数愈大，梁的承载能力就愈大，故截面就愈合理。因此就Wz／A而言，对工字形、矩形和圆形三种形状的截面，工字形最为合理，矩形次之，圆形最差。此外对于[σt]=[σc]的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，使截面上、下边缘的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。对于[σt]≠[σc]的脆性材料，一般采用不对称于中性轴的截面如T形、门形等，使最大拉应力σtmax和最大压应力σcmax一同时达到[σt]和[σc]，如图5—7—