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1、初中数学青年教师解题竞赛分类一整数解问题1已知m为整数,且12<m<40,试求m为何值时,关于未知数x的方程有两个整数根.解:∵△=[-2(2m-3)]2-4(4m2-14m+8)=8m+4,∵关于未知数x的方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有两个根,∴8m+4≥0,∵关于未知数x的方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有两个整数根∴△=2m+1是整数,又∵12<m<40,∴5<2m+1<9,∵方程有两个整数根必须使2m+1为正整数,且m为整数,∴2m+1=7,∴m=24.2已知方程x2-6x-
2、4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值。△=36+4(4n^2+32n)=4(4n^2+32n+9)=4[4(n^2+8n+16)-55]=4[4(n+4)^2-55]4(n+4)^2-55是完全平方数,△能够开出整数设A=2(n+4),4(n+4)^2-55是B的完全平方数A^2-55=B^2A^2-B^2=55(A+B)(A-B)=55=5*11A+B=11,A-B=5或A+B=5,A-B=11A=8,即2(n+4)=8n=0或者(A+B)(A-B)=55=55*1A+B=55,A-B=1或A+B=1,A-B=5
3、5A=28,即2(n+4)=28n=103试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。4已知:方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个整数根,且12<m<60.求:m的整数值.5求所有正实数,使得方程仅有整数根.6设a为整数,使得关于x的方程a-(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根,试求方程所有可能的有理根.7设为整数,且关于的方程有整数根,则的值为 。8若关于x的方程rx2-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数,则整数r的值可以是 .9已知方程x2-
4、6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值 。10.已知关于x的一元二次方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0的两个根均为整数,求所有满足条件的实数k的值。解:原方程可化为:[(6-k)x-9][(9-k)x-6]=0.因为此方程是关于x的一元二次方程,所以,k≠6,k≠9,于是有:x1=9/6-k①,x2=6/9-k②.由①得k=6x1-9x1,由②得k=9x2-6x2,∴6x1-9x1=9x2-6x2,整理得x1x2-2x1+3x2=0,有(x1+3)(x2-2)=-6.
5、∵x1、x2均为整数,∴x1+3=-6,-3,-2,-1,1,2,3,6x2-2=1,2,3,6,-6,-3,-2,-1.故x1=-9,-6,-5,-4,-2,-1,0,3.又k=6x1-9x1=6-9x1,将x1=-9,-6,-5,-4,-2,-1,3分别代入,得k=7,152,395,334,212,15,3.11x2-2x-5
6、x-1
7、+7=0的所有根的和是( ) A、-2 B、0 C、2 D、412、已知关于的方程的根都是整数,那么符合条件的整数有________个。13、若能分解为两个一次因式的积,则整数的值
8、是___________.14、边长为整数,周长等于21的等腰三角形共有 ( )A、4个 B、5个 C、6个 D、7个15、一次函数(为整数)的图象经过点(98,19),它与轴的交点为(p,0),它与轴的交点为(0,q),若p是质数,q为正整数,则满足条件的所有一次函数的个数为(A).(A)0(B)1(C)2(D)大于2的整数16=__。A 5-4B4-1C5 D117、化简:的结果是__。A、78.5 B、97.5 C、90 D、10219、满足等式x=2003的正整数对的个数是__。A、1 B、2 C、3 D、
9、4二韦达定理和最大值1求分式值的范围。2.设关于未知数x的方程x2―5x―m2+1=0的实根为α、β,试确定实数m的取值范围,使
10、α
11、+
12、β
13、≤6成立.3设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根,则(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值为。4、设是不小于的实数,使得关于的方程有两个不相等的实数根。(1)若,求的值。(2)求的最大值。5已知,,且,则a的值等于()(A)-5(B)5(C)-9(D)96、如果、是两个不相等的实数,且满足,,那么x1+x2=().(A)2006(B)-2006 (C
14、)1 (D)-17、如果、是两个不相等的实数,且满足,,那么等于()A、2003B、-2003 C、1 D、-18已知实数满足的取值范围是9,则.10如果、是两个不相等的实数,且满足,,那么+等于()(A)2005(B)-2005 (C)1 (D)-111.已知实数x,y,