全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析

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1、2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【考点】等价无穷小、高阶无穷小【详解】当时，，因为它们都是比高阶的无穷小，故，即2、下列曲线中有渐近线的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【考点】函数的渐近线【详解】对于选项A，不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A没有铅直渐近线，而不存在，因此选项A中的函数没有斜渐近线；对于

2、选项B和D，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C选项，.由于，又.所以存在斜渐近线.故选C.（4）设函数具有2阶导数，，则在区间内（）（A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时，【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性【详解】【解法一】令则由拉格朗日中值定理知，存在，使得即又因为若，则，所以单调递减，当单调递增，当单调递减，又，所以，即，故选D【解法二】令，则函数具有2阶导数，且所以当时，，故选D4、曲线上对应于的点处的曲率半径是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径【详解】5、设函数，若，则（）（

3、A）（B）（C）（D）【答案】D【考点】函数求导、函数求极限【详解】...6、设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则（）（A）的最大值和最小值都在的边界上取得（B）的最大值和最小值都在的内部取得（C）的最大值在的内部取得，的最小值在的边界上取得（D）的最小值在的内部取得，的最大值在的边界上取得【答案】A【考点】二元函数极值的充分条件【详解】因为，故与异号.又，则，所以函数在区域内没有极值.又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在的边界点取到.7、行列式（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【考点】分块矩阵的行

4、列式运算、行列式的性质、行列式按行（列）展开定理【详解】【解法一】故选【解法二】8、设为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的（）（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】A【考点】向量组的线性相关性【详解】二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、.【答案】【考点】无穷限的反常积分【详解】10、设是周期为的可导奇函数，且，则【答案】1【考点】一阶微分方程、周期函数【详解】11、设是由方程确定的函数，则.【答案】【考点】隐函数求偏导、全微分【详解】1

5、2、曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是.【答案】【考点】参数方程求导、极坐标与直角坐标的转化、切线方程【详解】把极坐标方程化为直角坐标方程令13、一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标.【答案】【考点】质心坐标【详解】质心横坐标公式：所以：14、设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围是.【答案】【考点】二次型的规范形、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形【详解】【解法一】二次型对应的系数矩阵为：，记特征值为则，即特征值必有正有负，共3种情况；因二次型的负惯性指数为特征值1负2正或1负1正1零；，即【解法二】三、解答题

6、：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）求极限【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则【详解】16、（本题满分10分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.【考点】微分方程、函数的极值【详解】17、（本题满分10分）设平面区域，计算.【考点】二重积分的计算、轮换对称性【详解】积分区域关于对称，利用轮对称行，18、（本题满分10分）设函数具有2阶连续导数，满足.若，，求的表达式.【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程【详解】令即：对应的

7、齐次微分方程的特征方程为：解得：故齐次微分方程的通解为：设，则，代入微分方程解得：，即故所以因为，，代入解得：所以19、（本题满分10分）设函数，在区间上连续，且单调增加，.证明：（Ⅰ）（I），；（II）【考点】定积分中值定理、不等式的证明【详解】（I）【解法一】因为函数在区间上连续，且.所以即【解法二】由定积分中值定理知：存在，使得，又因为时，所以即【解法三】（II）令20、（本题满分11分）设函数，.定义数列，，，，记是由曲线，直线及轴所围平面图形的面积，求极限.【考点】定积分求面积、函数求极限【详解】21、（本题满分11分）已知函数满足，且.求曲线所

8、围图形绕直线旋转所成旋转体的体积.【考点】偏积分、隐函数、旋转体的