(学生版)教师版含参数的一元二次方程的整数根问题

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1、含参数的一元二次方程整数根对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．　　例1m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0，有两个不相等的正整数根．　　例2已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0　　(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．　　9　　

2、例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．　　　　例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．　9　　例5已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．　　　例6求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．　　9　　例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0　　至少有一个整数根，求a的值．　　　　例8已知方程x2

3、+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2　　　　(2)求证：b-1≤c≤b＋1；　　(3)求b，c的所有可能的值．　　1、已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-3=09(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2式方程的两根，且(x1+x2)2-(x1+x2)-12=0,求m的值。2、已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实根x1、x2，(1)求k的取值、范围。(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？3、试证：关于x的

4、方程mx2-(m+2)x=-1必有实根。4、m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．5、已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0,(其中a是非负整数)至少9有一个整数根，求a的值．6、设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．7、已知方程kx2-(2k-1)x+k-2=0的两根为x1、x2，且x12+x22=3，求k的值。8、当m为何值时，关于x的方程(m2-4)x2+2(m+1)x+1

5、=0有实根。9、已知关于x的方程x2+(2m+1)x+m2+2=0有两个相等的实数根，是判断直线9y=(2m-3)x-4m+7能否通过A(-2,4)，并说明理由。10、已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.11、已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1)求a、b的值；(2)已知k为一实数，求证：关于x的方程(-a+b

6、)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.12、关于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.13、已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程有两个等根，9试判断△ABC的形状.11、若方程的两个根是x1，x2，求。15、已知关于x的方程（1）当m取什么值时，原方程没有实数根？（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两实数根，并求这两个实数根的平方和。16

7、、已知关于x的方程和，它们都有实数根，试求实数k的取值范围。17、已知一元二次方程（1）当m9取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设是方程的两个实数根，且满足x12+x22+x1x2=1，求m的值。9