二次函数闭区间上的最值问题

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1、二次函数闭区间上的最值问题与根的分布一、二次函数闭区间上的最值问题一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。分析：将配方，得对称轴方程当时，抛物线开口向上若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当时当时1.定二次函数在定区间上的最值

2、二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1.函数在区间上的最大值是_________，最小值是_______。6例1：解：函数是定义在区间上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。例2.已知，求函数的最值。例2：解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，

3、最大值为。解后反思：已知二次函数（不妨设），它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在上的最大值或最小值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是2.动二次函数在定区间上的最值二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例3.已知，且，求函数的最值。例3：解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：6二次函数的对称轴方程是顶

4、点坐标为，图象开口向上由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。函数的最小值是，最大值是。例4.已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数a的值。例4：解：将二次函数配方得，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间上。若，函数图象开口向下，如图4所示，当时，函数取得最大值5即解得故若时，函数图象开口向上，如图5所示，当时，函数取得最大值5即解得故综上讨论，函数在区间上取得最大值5时，解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固

5、定的，但图象开口方向是随参数a变化的。3.定二次函数在动区间上的最值二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例5.如果函数定义在区间上，求的最小值。例5：解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。如图6所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有。当时，函数取得最小值。如图7所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值6。如图8所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值综上讨论，例6.设函数的定义域为，对任意，求函数的最小值的

6、解析式。例6：解：将二次函数配方得：其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上若顶点横坐标在区间左侧，则，即。当时，函数取得最小值若顶点横坐标在区间上，则，即。当时，函数取得最小值若顶点横坐标在区间右侧，则，即。当时，函数取得最小值综上讨论，得4.动二次函数在动区间上的最值二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例7.已知，且当时，的最小值为4，求参数a的值。例7：解：将代入S中，得则S是x的二次函数，其定义域为，对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上。若，即6则当时，此

7、时，，或若，即则当时，此时，，或（因舍去）综上讨论，参变数a的取值为，或，或另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。课后练习：区间最值问题答案66