闭区间上二次函数的最值问题

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1、闭区间上二次函数的最值问题《试题调研》网站免费精品资料下载：http:/www.tesoon.com/stdy/二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。一.定二次函数在定区间上的最值二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶

2、点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。图1例2.已知，求函数的最值。解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。第7页（共7页）-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3、--图2解后反思：已知二次函数（不妨设），它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在[m，n]上的最大值或最小值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是二.动二次函数在定区间上的最值二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例3.已知，且，求函数的最值。解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端

4、点上。函数的最小值是，最大值是。第7页（共7页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------图3例4.已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数a的值。解：将二次函数配方得，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间上。若，函数图象开口向下，如图4所示，当时，函数取得最大值5即解得故图4若时，函数图象开口向上，如图5所示，当时，函数取

5、得最大值5即解得故第7页（共7页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------图5综上讨论，函数在区间上取得最大值5时，解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。三.定二次函数在动区间上的最值二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函

6、数在动区间上的最值”。例5.如果函数定义在区间上，求的最小值。解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。如图6所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有。当时，函数取得最小值。图6如图7所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。第7页（共7页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------图7如图8所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。

7、当时，函数取得最小值综上讨论，图8例6.设函数的定义域为，对任意，求函数的最小值的解析式。解：将二次函数配方得：其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上若顶点横坐标在区间左侧，则，即。当时，函数取得最小值若顶点横坐标在区间上，则，即。当时，函数取得最小值若顶点横坐标在区间右侧，则，即。当时，函数取得最小值综上讨论，得第7页（共7页）---------------------------------------------------