四边形培优题及答案

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1、1.（2012河南）如图，在菱形ABCD中，AB=2，,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空并证明：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形.2.（2012浙江杭州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面

2、积，求BC的长．【答案】（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA。∵在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA。∴△AED≌△DFA（SAS）。∴AF=DE。（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK。∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°。∴AB=BH=AH。同理：CD=CK=KD。∵S梯形ABCD=，AB=a，∴S梯形ABCD=。又∵S△ABE=S△DCF=，∴，解得：。【考点】等腰梯形的性质

3、，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。【分析】（1）根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS的判定证明△AED≌△DFA即可。（2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长。3.（2012江苏南京）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。【答案】（1）证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。同理FG

4、=BD，GH=AC，HE=BD。∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。设AC与EH交于点M，在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。∴四边形EFGH是正方形。（2）解：连接EG。在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，∴。在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，∴，即四边形EFGH的面积为。【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定

5、理。4.（2012江苏南通）如图，菱形ABCD中，∠B＝60º，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60º，求证：BE＝DF；(2)如图2，若∠EAF＝60º，求证：△AEF是等边三角形．【答案】证明：（1）连接AC。∵菱形ABCD中，∠B=60°，∴AB=BC=CD，∠C=180°－∠B=120°。∴△ABC是等边三角形。∵E是BC的中点，∴AE⊥BC。∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°。∴∠CFE=180°－∠FEC－∠C=180°－30°－120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。∴E

6、C=CF。∴BE=DF。（2）连接AC。∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。∴△ABC是等边三角形。∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。∴∠AEB=∠AFC。在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC，AB=AC，∴△ABE≌△ACF（AAS）。∴AE=AF。∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定

7、和性质，三角形内角和定理全等三角形的判定和性质。【分析】（1）连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，从而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，从而证得BE=DF。（2）连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形。5.（2012江苏盐城）如图①所示,已知、为直线上两点,点为直线上方一动点,连接、,分别以

8、、为边向外作正方形和正方形,过点作于点,过点作于点.(1)如图②,当点恰好在直线上时(此时与重合),试说明；(2)在图①中