点到直线的距离教案

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1、点到直线的距离人教版高二第二册（上）第七章第三节第4课时山西省阳泉市荫营中学　　王萍教学目标：（1）让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；（2）培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；（3）引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验．教学重点：点到直线距离公式及其应用．教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法．教学方法：问题解决法、

2、讨论法．y教学工具：计算机多媒体、实物投影仪．P(-1,5)Q10246-4-8-10O8-2-6-4-6-2246810教学过程：一、创设情景提出问题多媒体显示实际的例子：-8x-10某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂

3、课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．二、自主探索推导公式多媒体显示：已知点P(x0，y0)，直线：Ax+By+C=0，求点P到直线的距离．怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况．学生解决．ll板书：6OyxP(x0,y0)Q如何求？学生思考回答下列想法：思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公

4、式求得．教师评价：此方法思路自然．教师继续提出问题：(1)求线段长度可以构造图形吗？　(2)什么图形？如何构造？(3)第三个顶点在什么位置？　(4)特殊情况与一般情况有联系吗？学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中．第三个顶点在什么位置？可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N，或过P点做x,y轴的平行线与直线的交点R、S．教师根据学生提出的方案，收集思路．思路二：在直角△PQM,或直角△PQN中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值．思路三：在直角△PQR,或直角△PQS中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，

5、但分情况）,用余弦值．思路四：在直角△PRS中，求线段PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长．学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程．（思路一）解：直线：，即由，6（思路四）解：设，，，，；，由，而　说明：如果学生没有想到思路二、三，教师提示做课后思考作业题目．教师提问：①上式是由条件下得出，对成立吗？②点P在直线上成立吗？③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？由此推导出点P(x0，y0)到直线：Ax+By+C=0距离公式：　　　　　适用于任意点、任意直线．P(x0,y0)Q

6、Oyxn→教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？（在前面学习的向量知识中，有向量的模．由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识，且也提出过直线的法向量的概念．）能否用向量知识求解呢？思路五：已知直线的法向量，则，，如何选取法向量？直线的方向向量6，则法向量为，或，或其它．由师生一起分析得出取＝．教师板演：，，由于点Q在直线上,所以满足直线方程,解得教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法．三、变式训

7、练学会应用练习：1.解决课堂提出的实际问题．（学生口答）2.求点P0(－1,2)到下列直线的距离：①3x=2②5y=3③2x＋y=10④y=－4x+1练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式．练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式．教师强调：直线方程的一般形式．例题：3.求平行线2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距离．教师提问：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？学生回答：选其中一条直线上的点到另一条直线的距离．师生共同分析：点所在直线的任意性、点的任意性．几何画板演示点和直线变化，选取点和直线．学生

8、自己练习，教师巡视．教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果．然后选择一种取任意点的方法进行板书．解：在直线2x－7y－6=0上任取点P(x0，y0)，则2x0－7y0－6=0，点P(x0，y0)到直线2x－7y＋8=0的距离是．x5431-51-2-4-3-1532y2-1-3O4