悖论在三次数学危机中的作用

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1、数学之美2007年11月总第3期数学方法与数学思想编辑点评：该文谈悖论，但并不是面面俱到地谈悖论，而是专门谈悖论在三次数学危机中的作用，不但主题鲜明、集中，而且由于三次数学危机在数学史中的地位，文章的选题就也显得非常重要。作者对悖论与三次数学危机的关系，有比较准确、深入的理解；又查阅了大量的文献，用自己的语言组织成文，文字通顺，脉络清晰，繁简得当，论述到位。读者从这篇文章中，不仅能够了解什么是悖论，还能够了解什么是历史上的三次数学危机；不仅能够了解悖论在其中的作用，而且能够了解危机的解决对推动数学发展的作用；所以，本

2、文有相当的可读性，是一篇优秀的论文。悖论在三次数学危机中的作用王子珺（数学科学学院统计学系0510162）摘要：本文介绍了悖论在推动数学发展过程中的贡献，主要关注悖论引发的三次数学危机，以及研究悖论的重要意义。关键词：悖论；数学危机1什么是悖论有一种命题，你无法证明它究竟是真还是假，这种命题，就叫做悖论。悖论——paradox来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。悖论不是诡辩，它是完美无缺的，经得起推敲的命题，你既不能证明它是真，也不能证明它是假；或者说，你既可以证明它是真，也可以证明它是假。《辞

3、海》中说，悖论就是逻辑学和数学中的一种“矛盾命题”。即如果你假定一个命题是真的，那么经过一系列正确的推导可以得出该命题是假的；反之如果假定命题为假，则又能同样合理地推出命题为真。这一系列的“真真假假”，吸引了古今中外无数人对于逻辑和数学精密性的兴趣和思考，其中包括众多科学家、思想家以及无数爱好者。每一个著名悖论的提出，往往都标志着一个新理论的开始；每一次解决悖论的过程，都在将这个新理论向前推进。随着悖论不断地被提出和解决，众多学科得以快速发展前进。悖论当然也具有非常重要的数学意义。从古希腊的希伯斯提出的悖论开始，一直

4、到罗素的关于集合论的悖论，很多悖论的提出都震撼了数学的基础，由此也对数学理论的发展起了巨大的推动作用。YibinCityCitytracktrafficplanningisYibincityregionalrangewithintracktrafficsystemofonceintegration,andcitytracktrafficalsoisYibinCityCityintegratedtracktrafficsystemintheofpart,foraccurategraspcitytracktrafficr

5、esearchofobject159数学之美2007年11月总第3期这里特别需要指出的是悖论在三次数学危机中的巨大作用，是它们造成了这三次危机，而每一次危机的化解都使得数学这棵大树的根基更加稳固。2希伯斯悖论——第一次数学危机公元前六世纪，古希腊有个著名的学派叫做毕达哥拉斯学派，其创始人毕达哥拉斯（Pythagoras）是当时著名数学家与哲学家。在此学派的兴盛期，毕达哥拉斯的思想是绝对权威的真理。由他本人提出的著名命题“万物皆数”（这里的数指整数）是该学派的重要基石，他们的信仰是：世界上的一切都可归结为整数或整数之比

6、，而且这一思想也被当时的人们所普遍接受。这个学派后来又发现了毕达哥拉斯定理（即勾股定理）。然而，正是这个在当时令众多人兴奋不已的定理，在毕达哥拉斯学派的基石上砸出了裂缝。毕达哥拉斯定理提出后不久，其学派中的一个成员希伯斯（Hippasus）发现了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度L不能用整数或整数之比来表示（即为无理数的证明）。这在当时就造成了矛盾，其悖论性在于：当时人们认为一切数都可表示为整数或整数之比，L是一个数，则L也可以被这样表示出来，但由勾股定理以及一系列定理可以得出L不可以被整数或其比所表示，这是违背

7、了人们的普遍认知的，被认为是由正确的推理得出的“错误”结论。这一重大发现使得希伯斯受到毕达哥拉斯忠实门徒的追杀，直至他惨遭毒手，被扔进地中海。尽管他本人被杀害，但这个发现还是被许多人知道了。希伯斯的问题导致了数学史上第一个无理数的诞生。它的出现在当时的数学界乃至整个社会掀起了一场巨大风暴，它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，是对“万物皆数”的反驳。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击，从而导致了第一次数学危机。在这个问题的推动下，更多的数学家开始研究数

8、的基础理论。为解决这一问题，人们把证明引入了数学，数学逐渐从经验科学变为演绎科学。直到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数的本质才被彻底搞清。它在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。无理数的发现，推动了除四则运算外的其他运算方法的使用。这次危机也使得人