由悖论引起的三次数学危机

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1、由悖论引起的三次数学危机数学发展史上的第一次危机发生于古希腊时期，当时毕达哥拉斯学派所倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点。他们认为宇宙的本质就是数的和谐，一切事物都必须而且只能通过数学得到解释。而他们所谓“数的和谐”是指一切事物和现象都可归结为整数或整数与整数之比。他们深信这一观点无比正确，因此广泛利用它来解释各种现象。而后不久即出现了我们前面介绍过的希帕索斯发现无理数的事件，而这一事件是由于一个简单的不公度线段的发现而引起的。在一般人看来，对于任何两条不一样长的线段，我们都能找到第3条线段，使给定的

2、两条线段都包含第3条线段的整数倍。可是希帕索斯却发现，对于边长为的正方形，设它的对角线为x，根据勾股定理，则有：这里出现的，正好是1与2的比例中项（图153）。但是无论如何了找不到两个整数之比等于。也就是说，x和之间不可能是整数的比例关系，也就不可能找到一条线段，使x和都包含它的整数倍。因此，从数学的推导可以得出结论，那就是，与我们直观的观察和想像相反，的确存在着不可公度的线段，即不具有共同度量单位的线段。不可公度线段的出现对毕达哥拉斯学派是一个沉重的打击，但这一怪现象毕竟是学派内部的人发现的，因此被称

3、为毕达哥拉斯悖论或希帕索斯悖论。希帕索斯为此而献出生命，但他的死并没有消除悖论的存在，却使数学界产生了极度的思想混乱，从而爆发屯第一次数学危机。这次数学危机的解决导致无理数的诞生。美籍华人数学家项武指出，有理数的准确翻译应该是“可比数”，无理数的准确翻译应该是“不可比数”。经过这次惨痛的教训，古希腊数学家不得不承认直观和经验并非绝对可靠。因此他们对一些凭经验而得到的几何知识都要求严格的推理加以证明，正是在这个过程中促进了欧氏几何和非欧几何的诞生。数学史上的第二次危机发生在17世纪，涉及的是微积分理论基础

4、的问题，是由贝克莱悖论引起的。当时虽然微积分理论刚刚建立，但由于它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用而引起人们高度的重视。它能提示和解释许多自然现象，但是却缺乏令人信服的严格理论基础，在推导过程中存在着明显的逻辑矛盾。例如：对于y=x2而言，根据牛顿的流数计算法有：y+△y=(x+△x)2（1）x2+△y=x2+2x△x+（△x）2（2）△y=2x△x+（△x）2（3）在上述推理中，从（3）到（4），要求△x不等于零，因为要用△x作除数。而从（4）到（5），又要求△x等于零，因为△x小到可以忽略

5、不计，因此从（4）到（5）时将其舍去了。按照其物理意义，就非匀速运动而言，如果认为无穷小量△x、△y为0，那么就相当于。按照数学的传统法则，这是无意允许的。事实上，在这种情况下，也根本没有运动发生。但如果认定△x不为零，那么就仍然是平均速度，根本不是瞬时速度。正因为无穷小方法中包含着这类矛盾，受到许多数学家的指责。特别是基督教大主教贝克莱在1734年出版的《分析学家》的小册子中，对这一矛盾的指责达到高潮。贝克莱说：“无穷小最初不是零，才能在（3）到（4）时作除数，而在（4）到（5）时，又作为零而舍弃，这

6、违反了矛盾律。无穷小如果是零就不能作除数，如果不是零，就不能舍弃”。这就是著名的“贝克莱悖论”。贝克莱悖论又一次引起数学界的思想混乱，导致了第二次数学危机的爆发。为解决这一悖论，无数人投入了大量的劳动。终于由法国数学家柯西首先给出了极限的定义；“若代表某变理的一串数值无限地趋向于某一数值时，其差可任意小，则该固定值称为这一串数值的极限”。很明显，这个定义给无穷小一个准确的概念，完全摆脱了与几何直观的联系。接着他又以极限概念为基础，分别建立了连续、导数、微分、积分等理论从19世纪下半叶开始，极限理论逐渐取

7、代了无穷小量的方法，在数学分析基础理论中占有了统治的地位，这样才能消除了第二次数学危机。由于严格的实数理论和极限理论的建立，第一次、第二次数学危机都得到了解决。许多人认为数学世界应该太平了。殊不知实数理论和极限理论都是以集合论为基础的。因此当由集合论的悖论所引起的第三次数学危机爆发的时候，它实际上可以看作是前两次危机的继续和深化。它所涉及的问题比前两次更广泛，引起的危机感也更加强烈。从17世纪开始的300年中，出现了一大批杰出的数学家，像笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、柯西、阿贝尔、康托尔、费尔马、伯努力利家族

8、、欧拉、拉普拉斯、希尔伯特等。他们的卓越工作成就，把近代数学宫造成了一座高度严密和既抽象又确定的“数学迷宫”。数学表达的精确化和理论系统的公理化思想，深深渗透到人类知识的各个领域。数学家们为自己建造的数学大厦即将竣工而狂喜，认为数学理论的严密性已经完成，特别是基础理论已不成问题。法国知名数学家彭加勒竟然在1900年于巴黎召开的国际数学家代表大会上自豪的宣布：“数学的严格性，看来直到今天才可以说是完全地实现了。”正当人们陶醉于胜利之中时，正当