浙江大学考研高等代数答案

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1、中国浙江大学.2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答博士家园http://www.bossh.netGodyalin科目：高等代数编号：326一、是数域上的不可约多项式（1），且与有一公共复根，证明：。（2）若及都是的根，是的任一根，证明：也是的根。Proof：（1）是数域上的不可约多项式，故对于上任一多项式只有以下两种情形：,下证不可能是情形二。（反证法）若不然为情形二，就是则由已知条件，有一公共复根（设为），则，将代入中得到的矛盾，故假设不正确，得证！（2）设是的任一根，下证。证明见《高等代数题解精粹》钱吉林编第42题.二、计算行列式

2、Solution:我们已经知道：在此结论中令，知三、（1）是正定矩阵，是实对称矩阵，证明：可逆矩阵同时为对角形Proof:(1)正定，可逆矩阵使得，此时还是对称的，正交矩阵使得为对角形，令，此时是对角形，得证！（2）由（1）知所以，故正定得证！！四、设维线性空间的线性变换有个互异的特征值，线性变换可交换的充分必要条件是是的线性组合，其中为恒等变换。Proof:我们分以下四步来完成证明。（1）由题意知，有个互异特征值，故，其中为的特征值，且令（2）则，，令，为对角矩阵，且主对角线上的元素互异，而，由结论“与对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵”知，

3、即，（3）（4）欲证可由线性表出，只须证方程有非零解即可，（显然）设将作用于，则由（3）知即明白写出即为，令有解，而,，，这说明可由线性表出！五、证明：阶幂零指数矩阵都想似（若而称的幂零指数为）。Proof:若，且，若还有，且，所以，由相似的传递性知，得证！（注：的最小多项式为从而与相似）六、设是维欧空间的线性变换，对都有证明：的核等于的值域的正交补。Proof: