【数学】甘肃省兰州第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试（文）

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1、甘肃省兰州第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试（文）第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是（C）A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．正方体2．有一段“三段论”推理是这样的：因为指数函数且在上是增函数，是指数函数，所以在上是增函数.以上推理中（A）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确3．函数的导数为（B）A．B．C．D．4．观察下列等式，，，根据上述规律，（C）A．B．C．D．5．已知函数的导函数为，且满足，则等于（B）A．B．-1C．1D．6．曲线在点处的切

2、线与坐标轴所围成三角形的面积为（D）A．B．C．D．7．如果圆柱轴截面的周长为定值，则其体积的最大值为（A）A．pB．pC．pD．p8．已知函数在区间（）上存在极值，则实数a的取值范围是　（D）A．B．C．D．69．函数的大致图象是(图中虚线是直线)（B）ABCD10．定义在R上的函数满足,为的导函数，已知的图象如右图所示，若两个正数满足,则的取值范围是（C）A．(-∞,-3)B．(-∞,)∪(3,+∞)C．　D．第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11．用反证法证明命题“若，则或”时,应假设12．函数在处的导数是13．曲线在点处

3、的切线方程为2x＋y－1＝0．14．函数在区间内单调递减，则的取值范围是　(－∞，－1]．三、解答题(本大题共5小题，共44分)15．(本小题8分)全国人民代表大会在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作．调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．（1）根据以上数据完成以下列联表：6会俄语不会俄语总计男10616女6814总计161430解：（2）能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？解：假设：是否会俄语与性别无关.由已知数据可求得.所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与

4、性别有关16．(本小题8分)已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在的最值.解：(1)由，可得.由题设可得即.解得,.所以．由题意得所以.令，得，.当变化时，，变化情况如下表：单调递增4/27单调递减0单调递增6所以函数的单调递增区间为,.（２）因为在时函数有极小值为0.在时函数有极大值．又，所以函数的最大值为2，最小值为0.17．(本小题8分)机器按照模具生产的产品也会有缺陷，我们将有缺陷的产品称为次品，每小时出现的次品数随机器运转速度的不同而变化．下表为某机器生产过程的数据：速度x（百转/秒）24568每

5、小时生产次品数y（个）3040506070（1）求机器运转速度与每小时生产的次品数之间的回归方程；（2）若实际生产所允许的每小时生产的次品数不超过75件，那么机器的速度（百转/秒）不超过多少？（写出满足题目的整数解）解：（1），，，∴，，∴回归直线方程为.（2）若实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过75件，则．即解得∴实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过75件，那么机器的速每秒不超过8百转18．(本小题10分)若函数，当时，函数有极值．（1）求函数的解析式；（2）若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围．解：f′(x)＝3ax2－b.6(1)

6、由题意得f′(2)＝0f(x)＝解得故f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)－因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值－，所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－

7、否存在实数，使得≥恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出的取值范围；（3）若方程在区间上有两个不相等的实数根，求的取值范围．解：（1）（i）当a>0时，由ax2-1>0得,由ax2-1<0得.故当a>0时，F(x)的递增区间为，递减区间为.（ii）当恒成立故当上单调递减.（2）即使时恒成立.（i）当a≤0时，由（1）知当∴时不可能恒成立.，（ii）当a>0时，由（1）可知6即可,故存在这样的a的值，使得a的取值范围是（3）等价于方程在区间上有两个不等解，∵在区间上为增函数，在上为减函数，，，所以a的取值范围是6