【数学】江苏省扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试 （理）

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1、江苏省扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试（理）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1.若复数，则=.2.用数学归纳法证明，在验证n=1成立时，等式左边是.3．已知,且,,…,,…,则=.4.已知三棱锥O-ABC，点G是△ABC的重心。设，，，那么向量用基底{，，}可以表示为.5.将3名男生和4名女生排成一行，甲、乙两人必须站在两头，则不同的排列方法共有种。（用数字作答）6.某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有种选法（用数字作答）．7．一种报警器的可靠性为％，那么将这两只这样的报警器并联后

2、能将可靠性提高到．8．用数学归纳法证明“＜，＞1”时，由＞1不等式成立，推证时，左边应增加的项数是　　．9．若，则最大值为__________．10.边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为.11．展开式中的一次项系数为　　．12．已知，则=.13.已知关于实数的方程组没有实数解，则实数的取值范围为.814.设是关于的方程的两个根，则的值为.二、解答题（本大题共6道题，共计90分）15．(本小题满分15分)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．16．(本小题满分15分)设z是虚数，是实数，且.（1）求

3、z

4、的值；（2）求z的实部的

5、取值范围．17．(本小题满分15分)如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.18．(本小题满分16分)设函数,．（1）求的展开式中系数最大的项；　（2）若（为虚数单位）,求．19．(本小题满分16分)电子蛙跳游戏是:青蛙第一步从如图所示的正方体顶点起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．（1）直接写出跳两步跳到的概率；8（2）求跳三步跳到的概率；（3）青蛙跳五步，用表示跳到过的次数，求随机变量的概率分布．20.(本小题满分16分)设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①的定义域为R；②方程有实数根

6、；③函数的导数满足”.（1）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（2）证明：方程只有一个实数根；（3）证明：对于任意的,，当且时，.答案8一.填空题：1.2.3.04.5.2406.3107.8.9.210.3611.5512.2813.14.二．解答题：15．证明：　①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．　　………6′　　………15′16．解：（1）设z＝a＋bi（a,b∈R且b≠0）则（2）　………8′　　………15′17．（1）证明：∵是的中点，且，∴.∵△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴.∵四边形是正方形，∴.∵

7、，平面，8平面，∴平面.∵平面，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴.　　………6′（2）解法1：作于，连接，∵⊥平面，平面∴.∵，平面，平面，∴⊥平面.∵平面，∴.∴∠为二面角的平面角.设正方形的边长为，则，，在Rt△中，，在Rt△中，，，在Rt△中，.∴二面角的平面角的正弦值为.…………15′解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，8设，则，，,.∴，.设平面的法向量为，由得令，得，∴为平面的一个法向量.∵平面，平面，∴平面平面.连接，则.∵平面平面，平面，∴平面.∴平面的一个法向量为.设二面角的平面角为，则.∴.∴二面角的平面角的正弦值为.…………15′

8、818．解：（1）展开式中系数最大的项是第4项＝；　　………6′（2）由已知，，两边取模，得，所以.所以=而所以…………16′19．解：将A标示为0，A1、B、D标示为1，B1、C、D1标示为2，C1标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B1再跳到A1记为121，其余类推.从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为，从1到2与从2到1的概率为.（1）P＝；　　　　　　　　　　　………4′（2）P＝P（0123）＝1＝；………10′（3）X＝0,1，2.P（X＝1）＝P（010123）＋P（012123）＋P（012321）＝11＋1＋11＝，P（X＝2）＝P（012323）＝1

9、1＝，P（X＝0）＝1－P（X＝1）－P（X＝2）＝或P（X＝0）＝P（010101）＋P（010121）＋P（012101）＋P（012121）＝111＋11＋11＋1＝，X012p…………16′20.解：（1）易证函数满足条件①②③，因此　　………4′（2）假设存在两个实根，则，8不妨设，∵∴函数为减函数，∴>,矛盾.所以方程只有一个实数根　　　　　　　　………10′（3）不妨设，∵，∴为增函数，∴，又∵