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1、2013考研数学之高等数学2013年总结笔记422013考研数学之高等数学一函数极限连续§1函数一函数的基本概念是一个非空实数集合，设有一个对应规则，使每一个，都有一个确定的实数与之对应，则称这个对应规则为定义在上的一个函数关系，或称变量是变量的函数，记作.二函数的基本性态1奇偶性(1)定义：偶；奇。(2)导函数：奇导偶，偶导奇.(3)原函数：奇原偶,偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数,其中2有界性(1)定义：,，有.(2)无界：,，有.(3)无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。(4)常见有界的判定：设在连续,则在有
2、界.设在连续,且存在,则在有界.3周期性(1)定义：(2)导函数：导函数还是周期函数并且周期相同注：周期函数的原函数不一定为周期函数。4单调性(1)定义：递增(递减)当时，均有(2)导函数：单增(减)；单增(减).422013考研数学之高等数学三各种其他的函数1分段函数：函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达2复合函数：与复合而成的复合函数,为中间变量.3反函数、隐函数(1)原来的函数为,若把作为自变量，作为因变量，便得一个函数，且，称为的反函数.(2)隐函数:.4初等函数(1)基本初等函数：常数，幂，指数，对数，三角，反三角.(2)由基本初等函数经过有
3、限的四则运算和复合所构成的函数，称为初等函数.§2极限一极限的概念1数列极限：对于当时有.2函数的极限(1)(自变量趋向于有限值的情形)(a)，，当时，有.(b)(左极限).(右极限).(c).(2)(自变量趋向于无穷大的情形)(a)，，当时，有.(b)..422013考研数学之高等数学(c).(3)常见有不同极限的函数：分段函数、二极限的性质1有界性：有界；有界2有理运算性质：(1)若,,则(a)(b)(c).(2)推广：加减法只要其中的一个极限存在，乘除法只要其中一个极限存在且不为0，上述运算法则就成立.(3)延伸：若，则(a)(b).3保号性：当有三极
4、限的两个存在准则(1)单调有界定理:若数列单调且有界,则有极限.(2)夹逼准则:设在的领域内恒有,且,则.四无穷小和无穷大1无穷大量:若,称为的无穷大量.正无穷：；负无穷：.2无穷小量：若,称是时的无穷小量。(1)设、都是时的无穷小量,若且，(a)，称是比高阶的无穷小，记以,422013考研数学之高等数学(b)，称与是同阶无穷小。(c)，称与是等阶无穷小，记以.(2)若为无穷小,且,称的阶无穷小.(3)无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小;有限个无穷小的和(乘积)仍然为无穷小.(4)等价无穷小的作用:若,则.(5)如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理.3无穷小
5、和无穷大关系:非零无穷小的倒数为无穷大;无穷大的倒数为无穷小.题型一：极限概念、性质和存在准则的讨论核心点：相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形题型二求函数的极限步骤1：四则运算和等价无穷小注1：四则运算特别要注意左右极限不同的情形.注2：常见的等价无穷小当时，，，，，，，，当时,.步骤2：恒等变形(1).含的极限.(a)若直接计算且,直接利用公式(b)将写成求解.(2)有理化变形(3)分子、分母同时除以最大的无穷大常见的无穷比较:422013考研数学之高等数学步骤3：洛必达法则和导数定义(1)先进行步骤1和2，然后再用第3步,符合洛必达法则用洛比达
6、法则;(2)若洛必达法则无法使用,则利用导数定义求解,此类问题一般为抽象型问题.步骤3’：泰勒定理含：可直接利用Peano形式的泰勒定理.题型三求数列的极限方法1：将换成,直接利用求函数极限的方法求解.方法2：单调有界必有极限,应用在递推数列求极限方法3：夹逼准则.题型四求数列连加和的极限方法1：直接合并方法2：夹逼准则一般情况下只放分母不放分子,且必须使左右两边的放缩项极限相同.方法3：定积分定义.若函数在区间上可积,则题型五已知极限求未知参数1若是的多项式型问题，考虑多项式的最高次数.2若是型,根据分子或分母极限为0得到一个参数再求解其他参数.§3连续一
7、连续与间断1连续的概念(1)若，则称在点处连续。(2)若，则称函数在点处左连续；如果，则称函数在点处右连续.如果函数在点处连续，则在处既是左连续，又是右连续.2间断点的分类：非连续点422013考研数学之高等数学(1)第一类间断点:与都存在的间断点：若，则称为跳跃型间断点.若=，则称为可去间断点.(2)第二类间断点:与中至少有一个不存在的间断点若与中至少有一个为无穷大，则称为无穷型间断点.当时函数值在摆动,称为摆动型间断点.（3）间断点可能情形：定义域的端点、分段函数分段点.二连续函数的性质1连续函数运算的性质.(1)若在连续,则,在连续，若还有条件，则在在
8、也连续.(2)若在连续,在连续,则在在连续.(3)初
