同余式及不定方程的解法

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1、2.不定方程不定方程是数论中的一个古老分支,其内容极其丰富。我国对不定方程的研究已延续了数千年,百鸡问题等一直流传至今,物不知其数的解法被称为中国剩余定理,近年来不定方程的研究又有新的进展。学习不定方程,不仅可以拓宽数学知识面,而且可以培养思维能力,提高数学解题的技能。不定方程的问题主要有两大类:判断不定方程有无整数解或解的个数;如果不定方程有整数解,采取正确的方法,求出全部整数解.(1)   不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必

2、为奇数、偶数两种,因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4        证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明 ∵2x2=5y2+7,显然y为奇数.①    若x为偶数,则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等,∴x不能为偶数.②    若x为奇数,则但5y2+7∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.(2)   不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式(质因数)分解法、不等式

3、法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6        求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解     解得 例7        (原民主德国1982年

4、中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a<b及b+1=c.证明(因式分解法)∵a2+b2=c2,∴a2=(c-b)(c+b),又∵a为素数,∴c-b=1,且c+b=a2.于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1<3b,即<.而a≥3,∴≤1,∴<1.∴a<b.例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解由(y-2)x=2y-7,得分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数,∴y-2=±1,±3,∴x=3,5,±1.∴方程整数解为例11       

5、 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解(不等式法)方程有整数解 必须△=(y+1)2-4(y2-y)≥0,解得≤y≤.满足这个不等式的整数只有y=0,1,2.当y=0时,由原方程可得x=0或x=1;当y=1时,由原方程可得x=2或0;当y=2时,由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解

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