高等数学利用导数知识证明不等式的常用方法

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1、利用导数知识证明不等式的常用方法一．导数知识包括微分中值定理和导数应用。微分中值定理主要有：Rolle定理，lagrange中值定理，Cauchy中值定理。它们可以用于以后的定理推证，这里主要用于证明恒等式、不等式、证中值的存在性、根的存在性等问题。导数的应用包括：利用导数判断函数的单调性、极值、凸性。本次习题课主要讲用它们证明不等式。一、例题1．利用lagrange中值公式例1证明不等式。分析把不等式可以改写成可见中项是函数在区间两端值之差，而是该区间的长度，于是可对在上使用拉格朗日中值定理。证设=，则=.在上运用拉格朗日中值公式,有==，又因，于是，有即　２．－，就可以利用的单调增性来推导

2、．也就是说，在可导的前提下，只要证明０即可．利用函数的单调性我们知道，当在上单调增加，则时，有．如果＝，要证明当时，，那么，只要令＝例2试证　，分析　　改写不等式为　１＞＞，当０时，1，当＝，之值为．于是要证的不等式相当于要证函数＝之值介于与１之间．证　考虑函数　＝，当时，有＝＝．所以，在内单调减少，又在上连续，所以有即　１＞＞　　或　　．本例也可将联立不等式分为与两步证明．1．利用函数的最值如果是函数在区间上的最大（小）值，则有（或），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过就可得证．例４　证明不等式　　　　证：设＝（）则令，得唯一驻点，又当时，；当时，，从而是，在上的最大值，即有＝所以（）

3、或．５．利用函数图形的凸性我们知道，在内，若，则函数的图形下凸，即位于区间中点处弦的纵坐标不小于曲线的纵坐标，即有：其中，为内任意两点．等号仅在＝时成立．例５　设，证明不等式且等号仅在时成立。分析　将不等式两边同时除以2，变形为为便可看出，左边是函数在两点，处的值的平均值，而右边是它在中点处的函数值　这时只需即可得证。证　设,即＝1+,,故由得，即等号仅在时成立。导数为不等式得证明提供了不少有效的方法，使用时究竟用哪种方法更合适，很难作出肯定的回答，需要根据不等式的就、具体形式来加以选择，有的可以用多种方法证明。1．课堂练习（1）（2）(3)(4)