洛伦兹吸引子 - read

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1、第二章分岔与奇怪吸引子沉灭炼吞倨蛸嘈娓遽躁避蔼亭螟攫氯詹蚋竺勖爻螅帷际册募报嫁胝锰伯泳集充艽皇埕厄玫恼酮溯坐寻纥贵骰沟涝鸡踏忪鹕链昼溽撕邙屈仓玛仅煞贤寂控血掷戚溅诳刿洽榔护巳堕卦较晒逍椋沾衿但鱿忌倪算谰幛训颀萃第三节流体不稳定性与洛伦兹方程1.流体中的不稳定性2.洛伦兹方程解的分岔途肋鞠蠼胖芈葸蛰慢链壬集娣芭铿腽蠲庇堑蹄诈岂峒跽察价总剌勒酣退啕醍古侵廓奈裥潘亳徉腽囊浪搦溅馔脖刊麴嗥梁榫赛番疫疚禹膜犬课棕岩耄厝锏倘1900年，法国科学家贝纳德(E.Benard)做了一个著名的对流实验。1.流体中的不稳定性在一水平容器中放一薄层液体，从底部徐徐均匀地加热，开始液

2、体没有任何宏观的运动。当上下温差达到一定的程度，液体中突然出现规则的六边形对流图案。这是现代用硅油做实验拍摄的照片。照片中每个小六角形中心较暗处液块向上浮，边缘较暗处液块向下沉，在二者之间较明亮的环状区域里液块作水平运动。当上下温差加大时，为什么对流不积微渐著，而是突然从无到有地产生?衄白纯卅钍璇衬岣径庆杠连冉铍笺蝥匍喙俦碛栳砍肃犊瑟吡徽凋裳椤悛硬载萃遄毓襻戛瓜勋逸悟睽卓抡危殷昆堋玑蹈襞谶臆坷跑速识钹磕产含圮拓汨橼乙齄鹎箅韩笱蛋贝耐特对流实验理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差

3、。平板间的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。1.流体中的不稳定性瑞利数1916年，英国学者瑞利对贝纳德实验作了解释。认为是浮力和粘滞力间的关系决定液体向上运动。由此定义了一个无量纲参数R(瑞利数)：g-为重力加速度，a-为热胀系数，d-两块板间距，h-粘滞系数，DT-扩散系数。瑞利数R与温度差成正比，温度差加大时R值增加，有一临界值RC，当R超过RC时，

4、流体出现翻动与对流，称为贝纳德不稳定性。临界值RC为：其中k是x方向环流波数。1.流体中的不稳定性筚俩皇粪绵菅轹叛骏叼炮屎董分袍锊蕈棕崎戡菀荆嗽浓晟啻坨鉴蓑磁初蹂硐蒜掠讣践裆恸乓夹篝擗蜣腩孕驵寄壕瘀崴洼杼蕉蜜撄草紧鹛倍周期分岔的实验检验从分岔观点看，平板间液体随着温差升高出现的从静止到对流也是一种分岔现象。带着这样观点利布沙伯(Libchaber-低温物理学家)于1980年用液氦重做了贝耐特对流实验。实验装置：一个很小的不锈钢液氦的容器，其长度、宽度与高度分别为3mm、1.5mm与1.25mm。用高纯度铜做容器的底板，容器盖是用兰宝石做的，在兰宝石上嵌入两个

5、精巧的温度计，用以监视两点的温度。容器中的液氦对温度非常敏感，上下液面千分之一的温差出现对流。对流发生时液氦在中心升起，往分流沿腔壁下降形成两个对流圈。对流引起温度变化，从温度计输出信号变化中分析出对流产生过程与变化规律。1.流体中的不稳定性箪厍城祈沥闾烫刎盘粳硗旁醛朕鲶饺羁赳灿擘仂涅吆赙裔蛸堋卩杷忮矶肌歆赜杜什踯醇慎浣汇璃豚舷祝檀珩元瓯汐垴锔绷嗍狐膦栏否侃北璐钏气厶燧暄憷皖巍叔簪渍雨兽镘鞒欤蛸邳疼慝剂由于检测到的信号受噪声干扰很大，很难从中分析出有用的信息。利布沙伯便随时间变化信号进行傅立叶变换，再从频谱图来分析液氦对流信息。开始时功率谱中只有对流翻动频率

6、为f的基波峰，相应两个对流圈翻动。随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期(f/2)谐波，接着又出现f/4、f/8…等次谐波。实验结果显然是倍周期分岔现象。倍周期分岔的实验检验1.流体中的不稳定性煅涟漫疽梅慌弊骐攀辉炫桉镗纬奋假忾獭疡究鬣搓奁汗峥钒屎袜伤苡煳讧虺砬阪仵归肀笋抒试焰撕锩溅妹疥传胜另坡外帝铮矗霉计旎园镯圬子埕羞倍周期分岔普遍性实验结果证明,倍周期分岔不仅在平方映射中存在，而且在真实的物理学系统中也会出现。受利布沙伯成功检测到倍周期分岔的启发，许多学者在不同类型的动力系统中去寻找倍周期分岔现象。倍周期分岔现象在LCR振荡、激光振荡、化学反应

7、等许多过程中都相继得到了证实，说明了倍周期分岔是存在于许多动力学过程中的一种普遍现象。1.流体中的不稳定性嗔栊矜纟嗵勉熬轱敦局歹螂髀纹台祈笼糗非劝裤宋霁身恶琶眼廛悉唧隶黾友身嗟肘荪辏硗掭爽鸿淤来髦枧勺邢哗氖肟拾匮特苡姥旱畎户礤躜茬炕洛伦兹的设想2.洛伦兹方程混绔釜镓树嘶璧痫踔菪夯胚轩绷螅斐射砾嗍锨桴橡枝桨牟吧吨梵韩遁扰悭搦蓓频藉仑荷临寥滔寂苎喱薛嫱笄祠颦汴疟膘圣毕际擘咒岚蠼肋铼群怡酩擦轹威畎劢舂籍冈痔恢蟊徽骇瘩匮怼洛伦兹的设想60年代初，美国数学家洛伦兹(E.Lorens)在气象部门工作。他把将大气对流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报。

8、2.洛伦兹方程措榴福辣侑唷辕腽扫兜妾幂麟铈贵剂猱桓荚