1987高考数学全国卷及答案理

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1、1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分（1）设S，T是两个非空集合，且ST，TS，令X=ST，那么SX等于（D）（A）X（B）T（C）（D）S（2）设椭圆方程为，令，那么它的准线方程为（C）（A）（B）（C）（D）（3）设a,b是满足ab<0的实数，那么（B）（

2、A）

3、a+b

4、>

5、a-b

6、（B）

7、a+b

8、<

9、a-b

10、（C）

11、a-b

12、<

13、

14、a

15、-

16、b

17、

18、（D）

19、a-b

20、<

21、a

22、+

23、b

24、（4）已知E，F，G，H为空间中的四个点，设命题甲：点E，F，G，H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交那么（A）（A）甲是乙的充分条件，但不是必要条件（B）甲是乙的必要条件，但不是充分条件（C）甲是乙的充要条件（D）甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件（5）在区间上为增函数的是（B）（A）（B）（C）（D）（6）要得到函数的图象，只需将函数的图象（图略）（D）（A）向左平行移动（B）向右平

25、行移动（C）向左平行移动（D）向右平行移动（7）极坐标方程所表示的曲线是（B）（A）直线（B）圆（C）双曲线（D）抛物线（8）函数的图象是（A）（A）（B）Y（C）Y（D）Y1Y1O-O-O-O-1二．（本题满分28分）本题共7小题，每一个小题满分4分只要求写出结果（1）求函数的周期[答]（2）已知方程表示双曲线，求λ的范围[答]λ＞-1或λ＜-2.（注：写出一半给2分）（3）若（1+x)n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n.[答]8（注：若给出8同时给出-5得2分）（4）求极限[答]2（5）在抛物

26、线上求一点，使该点到直线的距离为最短[答]（6）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数求这种五位数的个数[答]72（7）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高[答]三．（本题满分10分）求的值解：原式=（注：本题有多种解答）四．（本题满分12分）PECADB如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h求证三棱锥P-ABC的体积V=L2h.证：连结AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交

27、，∴BC⊥平面PAD∵ED⊥PA，∴S△ABC=PA·ED=LhVB-PAD=(Lh)·BD=Lh·BD同理，VC-PAD=Lh·CD∴三棱锥P-ABC的体积V=Lh·BD+Lh·CD=Lh（BD+CD）=Lh·BC=L2h.若E，D不是分别在线段AP，BC上，结论仍成立（此话不说，也不扣分）五．（本题满分12分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围解：由题意得：令则（3）式变为化简为解得（4）（2）式变为即（5）综合（4），（5）得由此，（6）解（1），（6）得a取值范围：六．（本题满分12分，共2个

28、小题）设复数满足关系式其中A为不等于0的复数证明：（1）（2）证：（1）（2）七．（本题满分12分，共3个小题）设数列的前n项的和Sn与的关系是其中b是与n无关的常数，且b≠-1（1）求的关系式;（2）写出用n和b表示的表达式;（3）当时，求极限.注：(2)也可用数学归纳法证明所以当八．（本题满分10分）定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：设A（x1,y1),B(x2,y2),AB长度为3，那么x1=y12,x2=y22,（1）3

29、2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(y22-y12)2+(y2-y1)2=(y2-y1)2[(y2+y1)2+1]（2）线段AB的中点M（x,y）到y轴的距离为下证x能达到最小值，根据题意不妨设y1>y2,由（3）得九．（附加题，本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计入总分）（1）求极限（2）设解：