我知道你――知道主体的逻辑(修改稿)

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1、逻辑与认知Vol.2,No.4,2004我知道你――知道主体的逻辑（修改稿）李小五(中山大学逻辑与认知研究所，中山大学哲学系，广东广州510275)摘要：首先，我们构造知道主体的系统KA，给出它的一些证明论结果。其次，我们引入关系语义，给出描述KA的特征公理的框架条件，证明KA相对这个框架条件是框架可靠的。最后，我们证明KA相对这个框架条件也是框架完全的。关键词：知道主体的系统；关系语义；框架可靠性；框架完全性中国分类号:B81文献标识码:A通常的动态逻辑在语形方面（相对公理化系统）没有独立刻画活动的逻辑性质（在语义方面，通常的动态逻辑用通达关系来表示活动，我们

2、姑且算是独立刻画了活动）。例如，没有刻画像“我吃了”那样的句子。也就是说，相对活动a，它们只刻画了形如[a]j的句子，而这样的句子没有独立刻画活动a。至于像“我吃了”那样的句子（概括为“主体A做完活动a”，符号化为Aa）有什么逻辑性质，这些逻辑没有揭示。而在我们看来，这是一类很重要的句子。所以本文我们首先刻画Aa的逻辑性质。同时我们还保留关于[a]j的逻辑性质，只不过我们把[a]j分解为当前所有主体A产生的[aA]j的合取（[aA]j直观表示“主体A做完活动a后产生结果j”），从而在某种意义上更精细地描述[a]j的语义，因为通常动态逻辑对[a]j的解释在我们看来

3、是含混的，毕竟活动总是某个主体（充其量是某类主体）做的，而通常的动态逻辑对[a]j的语义刻画并没有揭示到底是哪些主体做了a。本文主要解决的问题是如何刻画一个主体知道另一个主体。我们经常对别人说：“我知道你”。这句话是什么意思？我们理解为：我知道你的所作所为。所以，这里的“我知道你”有“我了解你”的含义。你的所作所为如何从逻辑上刻画？我们的方案是把作为理解为活动，因此：（%）　“我知道你”，当且仅当，“我知道你做过的所有活动”。根据这样的理解，我们把知道主体和主体做完活动这两个概念联系起来。用后者来定义前者。据（%），我们理解的知道主体的“知道”的意义相当强，有浓

4、厚的理想色彩，因为它要求知道对方做过的所有活动。1形式系统及其证明论本文提到但未定义的概念和记号，请参见后面的参考文献［1］。定义1.1　公式的形成规则79逻辑与认知Vol.2,No.4,2004（1）本文我们总用Agent＝{A1,…,An}表示有穷个主体的集合。（2）总用Act＝{a0,a1,…,an,…}表示可数无穷多个活动的集合。（3）总用At表示可数无穷多个原子公式的集合。（4）我们总用j,y和q（加或不加下标）表示公式，其形成规则如下：　　　p½Øj½(jÙy)½[aA]j½Aa½[a]j½Ga½KAj½KAB½KAG，其中p是At中任意元素，A和B

5、是Agent中任意元素，a是Act中任意元素，G是Agent的任意子集。（5）所有公式的集合记为Form。┤说明：[aA]j的直观意义是：“‘A做完a后j真’是必然的”（ItisnecessarythatAafterexecutinga,jistrue，见参考文献［2］第166页），或者“任何A做完a后都使j成立”（jholdsafteranyAexecutionofactiona）。Aa的直观意义是：“主体A做完活动a”（TheagentAhasexecutedanactiona）。Ga的直观意义是：“一群主体G做完活动a”。KAj直观意义是：“主体A知道命题

6、j”。KAB直观意义是：“主体A知道主体B”。KAG直观意义是：“主体A知道主体群G”。规定与缩写1.2（1）联结符Ú，®和«的缩写定义如通常给出。另外，缩写定义　j∷＝Ø[aA]Øj，∧xÎXx∷＝∧{x：xÎX}（即把所有x使得xÎX按任意固定次序合取起来）。（2）为了叙述方便，我们规定联结符的结合力从左到右依次减弱：Ø，[aA]，A，KA，[a]，G，Ù，Ú，®，«。此外，我们规定同形联结符满足右向结合原则。例如，j®y®q表示j®(y®q)。（3）T定义为p1ÚØp1，^定义为ØT。（4）我们用符号Û表示“当且仅当”，用Þ表示“若…，则…”，用～

7、表示“并非”。┤为了简洁和突出主题，下面我们引入一个较小的系统，保留进一步扩充的可能。定义1.3知道主体的系统KA定义如下：对所有aÎAct，j,yÎForm，AÎAgent和GÍAgent，公理（模式）：（TA）所有重言式的代入特例，（KaA）[aA](j®y)Ù[aA]j®[aA]y，（KA）KA(j®y)ÙKAj®KAy，（TA）KAj®j，（A1）　Aa®([aA]j®j)，（A2）　[aA]Aa，（A3）　[a]j«∧AÎAgent[aA]j，（A4）　Ga«∧AÎGAa，（A5）　KAB®(Ba®KABa)，（A6）　KABa0®KAB，（A7）　Ø

8、Ba0®KAB，（A8）