新课标创新人教a版数学必修 .平面向量的基本定理及坐标表示

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1、第1课时　平面向量基本定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P93～P94的内容，回答下列问题．(1)观察教材P93图2.3－2的作图过程，思考：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任意向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．(2)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？提示：存在．(3)两个非零向量夹角θ的取值范围是什么？当非零向量a与b共线时，它们的夹角是多少？提示：两个非零向量夹角θ的范围是0°≤θ≤18

2、0°.当非零向量a与b共线时，它们的夹角是0°或180°.2．归纳总结，核心必记(1)平面向量基本定理条件e1、e2是同一平面内的两个不共线向量．结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角续表范围[0，π]特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[问题思考](1)0能与另外一个向量a构成基底

3、吗？提示：不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．(2)平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．(3)如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．[课前反思](1)平面向量基本定理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；(2)基底：　　　　　

4、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；(3)基向量：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；(4)向量的夹角：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．讲一讲1.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分

5、别是DC和AB的中点，若试用a，b表示[尝试解答]　如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．练一练1．如图所示，已知在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若，试用a，b为基底表示向量解：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，讲一讲2．已知

6、a

7、＝

8、b

9、＝2，且

10、a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．练一练2．如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量的夹角．解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.

11、如图，延长AB至点D，使AB＝BD，∵∠DBC＝120°，(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴的夹角为90°.讲一讲3．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．(1)平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则(2)重要结论　设e1，e2是平面内一组基底，练一练3．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4

12、∶1.所以λ－μ＝b，即b＋c＝b.又因为b与c不共线，所以解得故即AP∶PM＝4∶1.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是平面向量基本定理及其应用、平面向量的夹角，难点是平面向量基本定理的应用．2．本节课要重点掌握以下三个问题