论能表为4个真子群并的群

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1、文章编号:1673-9868(2011)02-0091-04①论能表为4个真子群并的群宋科研1,晏燕雄211西南大学数学与统计学院,重庆400715;21重庆教育学院数学系,重庆400067摘要:研究了有限群表为4个真子群的并的问题,给出了一个新证明,并且对群结构进行了更详细的讨论:若一个有限群G能表为4个真子群G1,G2,G3及G4的并,则(a)(b)关键G1,G2,G3及G4中至少有一个是G的正规子群;G同态于S3或Z3×Z3,且同态核是G1∩G2∩G3∩G4.词:极大子群;正规子群;有限群的分解中图分类号:O15211文献标志码:A众所周知,一个群不能表为两个真子群的并.但由文

2、献[1-2]知道,克莱因四元群能表为3个真子群的并,并且由文献[1]知,一个群能表为3个真子群的并当且仅当它同态于Z2×Z2.此外由文献[1]知道,S3和Z3×Z3都能表为4个真子群的并.文献[3]给出:一个有限群G能表为4个真子群的并但不能表为3个真子群的并,当且仅当它同态于S3或Z3×Z3.尽管文献[3]的证明比较简洁,但是并不能得到关于4个子群的信息,也不知道同态的核到底是什么.本文将从子群的角度给出一些解释,确定这些真子群更加详细的性质,求出同态核,并且给出结论的另外一个证明.为了后面证明的需要,我们列出文献[1-3]中的主要结果如下:定理A[1-2]一个群G能表为3个真子群

3、G1,G2,G3的并,当且仅当G/G1∩G2∩G3÷Z2×Z2,其中G1,G2,G3都是指数为2的正规子群.定理B[3]一个有限群G能表为4个真子群的并当且仅当它同态于S3或Z3×Z3.在下面的论述中,我们总假定群G恰能表为n个真子群的并,即能表为n个真子群的并,但不能表为k个真子群的并(k

4、a2,则x=a1-1a2-1=axa2∈A,从而G=AxA=AA=A.引理2若群G恰能表为n个真子群G1,G2,⋯,Gn的并,则G1∩G2∩⋯∩Gn=G2∩G3∩⋯∩Gn=G1∩G3∩⋯∩Gn=⋯=G1∩G2∩⋯∩Gn-1证以第一个等式为例加以证明.取收稿日期:2010-04-22基金项目:重庆教育学院重点资助项目(KY200908A).①g1∈G1(G2∪G3∪⋯∪Gn)对任意的x∈G2∩G3∩⋯∩Gn有g1x∈G1,故x∈G1,因此G1∩G2∩⋯∩Gn=G2∩G3∩⋯∩Gn同理可证其他等式成立.定理1若有限群G恰能表为4个真子群G1,G2,G3,G4的并,则G1∩G2∩G3∩G

5、4=Gi∩Gj∩Gk=Gi∩Gj其中i,j,k∈{1,2,3,4},且i,j,k互不相等.证第1个等式由引理2直接可得,下证第2个等式:设G=G1∪G2∪G3∪G4,令[G∶Gi]=ni1≤i≤4,n1≤n2≤n3≤n4显然,我们有=

6、G

7、

8、G

9、

10、G1

11、

12、G2

13、

14、G

15、12

16、G1∩G2

17、≥=

18、G1G2

19、

20、G

21、n1n2同理可得≥

22、G

23、≥

24、G

25、G1∩G3

26、G1∩G4

27、

28、

29、n1n3n1n41因为

30、G1

31、=

32、G

33、,所以n11G1∪G2∪G3∪G4G1

34、1-

35、=

36、G

37、n1另一方面

38、G1∪G2∪G3∪G4G1

39、≤

40、

41、G2G1

42、+

43、G3G1

44、+

45、G4G1

46、=G2

47、-

48、G1∩G2

49、+

50、G3

51、

52、-

53、∩G3

54、+

55、G4

56、-

57、G1∩G4

58、G1=111111---

59、G

60、+

61、G

62、+

63、G

64、n2n1n2n3n1n3n4n1n4于是11111111-

65、G

66、≤-

67、G

68、+-

69、G

70、+-

71、G

72、n1n2n1n2n3n1n3n4n1n4从而11111111-≤≤-+-+-n1n21n1n21n31n1n31n41n1n41-+-+-=(1)n23n1n2n2n1n2n2n1n211-n2n1则n2≤3.若n2=2,则n1=2,由定理A知,G能表为3个真子群的并,矛盾.若n2=3,则易知(1)式等号成立.于是n3=G=G1G2=G1G3=G1G4从而Gi∩Gj≤G1(i,j∈{2,3,4}),则G1∩G

73、2∩G3∩G4=显然,G3∩G4≤G1∩G2.又因为n4=3,并且我们还有(GiG1)∩(GjG1)=ØG1∩G3∩G4=G3∩G4

74、G1

75、

76、G2

77、

78、GG

79、3312[G1∩G2∶G3∩G4]=≤≤

80、G3

81、

82、G4

83、n12

84、G3G4

85、所以G3∩G4G1∩G2.同理可证G2∩G4=G1∩G3=G2∩G3=G1∩G4定理1得证.定理2若有限群G恰能表为4个真子群G1,G2,G3,G4的并,则这4个真子群中必有是正规子群.证设G=G1∪G2∪G3∪G4,则由定理