2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：3.2均值不等式学案

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1、2017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案3.2　均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式≥求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋b2____2ab，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a，b∈R.它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a＝b，即当a＝b时，等号成立；反之

2、，等号成立时有a＝b.【做一做1】不等式a＋1≥2(a＞0)中等号成立的条件是(　　)．A．a＝2　　　B．a＝1C．a＝D．a＝02．(1)均值不等式：如果a，b∈R＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．(2)对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的______，数叫做a，b的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a＋b≥2，ab≤()2(a，b∈R＋)，当且仅当a＝b时，等号

3、成立．(2)a＋≥2(a∈R＋)，当且仅当a＝1时，等号成立．(3)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时，等号成立．【做一做2－1】若x＞0，则x＋的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x＜，则函数y＝x(1－3x)的最大值是__________．3．已知x，y都为正数，则(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当______时，积xy取得最大值________．(2)若xy＝P(积为定值)，则当______时，和x＋y取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②

4、和或积为定值；③72017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用．【做一做3】已知x，y都是正数，(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x＜0时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的

5、最小值是2.由于f(－2)＝－2＋＝－＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x＜0时，不能直接用均值不等式求f(x)＝x＋的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－x＋≥2＝2，此时有f(x)≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab与a＋b有一个是定值，即当ab是定值时，可以求a＋b的最值；当a＋b是定值时，可以求ab的最值．如果ab和a＋b都不是定值，那么就

6、会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2.由于2是一个与x有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab与a＋b有一个是定值．其实，当x＞1时，有x－1＞0，则函数f(x)＝x＋＝[(x－1)＋]＋1≥2＋1＝3.因此，当ab与a＋b没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a，b使均值不等式两边相等，也就是存在正数a，b使得＝.如果忽视这一点，就会得出错误答案．

7、例如，当x≥2时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2.很明显x＋中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x＝，即x＝1，而函数的定义域是x72017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x≥2时，函数f(x)＝x＋是增函数，函数f(x)的最小值是f(

8、2)＝2＋＝.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a2＋b2≥2ab中，a，b∈R；在a＋b≥2中，a，b∈R＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)．(3)证明的方法都是作差比