2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：3.2均值不等式课堂探究学案含答案

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1、2017-2018学年高中数学人教B版必修5学案3.2　均值不等式课堂探究一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x<0时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2．由于f(－2)＝－2＋＝－＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x<0时，不能直接用均值不等式求f(x)＝x＋的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋≥2＝2，此时有f(x)≤－2．因此，当所求最值的代数式中

2、的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab与a＋b有一个是定值，即当ab是定值时，可以求a＋b的最值；当a＋b是定值时，可以求ab的最值．如果ab和a＋b都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x>1时，函数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2．由于2是一个与x有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab与a＋b有一个是定值．其实，当x>1时，有x－1>0，则函数f(x)＝x＋＝＋1≥2＋1＝3．因此，当ab与a＋b没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．

3、(3)等号能够成立，即存在正数a，b使均值不等式两边相等，也就是存在正数a，b使得＝．如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x≥2时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2．很明显x＋中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x＝，即x＝1，而函数的定义域是x2017-2018学年高中数学人教B版必修5学案≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x≥2时，函

4、数f(x)＝x＋是增函数，函数f(x)的最小值是f(2)＝2＋＝．因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a2＋b2≥2ab中，a，b∈R；在a＋b≥2中，a，b＞0．(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)．(3)证明的方法都是作差比较法．(4)都可以用来求最值．题型一　利用均值不等式求最值【例1】(1)已知x，y∈(0，＋∞)，且2x＋y＝1，求＋的最小值；(2)已知x<

5、2，求函数f(x)＝x＋的最大值．分析：(1)利用“1”的代换，即将＋等价转化为×1或＋即可；(2)将x＋等价转化为－＋2即可．解：(1)＋＝(2x＋y)＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即⇒时等号成立．∴＋的最小值为3＋2．(2)∵x<2，∴2－x>0，∴f(x)＝x＋＝－＋2≤－2＋2＝－2，当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)，即x＝0时，等号成立．2017-2018学年高中数学人教B版必修5学案∴x＋取得最大值－2．反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立

6、的条件，都要验证“＝”是否成立．题型二　利用均值不等式比较大小【例2】若a≥b≥0，试比较a，，，，，b的大小．分析：这是一个有趣的不等式链，取特殊值可判断其大小关系．借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法．解：∵a≥b≥0，∴≤＝a．∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴≥2．又a>0，b>0，则≥＝．∵≥，∴≥．∵－b＝≥0，∴≥b．∴a≥≥≥≥≥b．反思：均值不等式a＋b≥2(a，b∈R＋)是综合证明不等式和利用重要不等式求最值的工具，要注意不等式成立的条件，它与两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数是等价命题．有趣的不等式链≥≥≥(

7、a，b∈R＋)，揭示了两正数倒数和、积、和平方、平方和之间的不等关系，当某一部分为定值时，其余三部分都能取到最值，且都在两数相等时取等号，利用这个不等式链往往使复杂问题简单化，要在理解的基础上记忆和应用．题型三　利用均值不等式证明不等式2017-2018学年高中数学人教B版必修5学案【例3】已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．分析：注意到a＋b＋c＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．证明：∵a＋b＋c＝1，∴(1－a)(1