2018版高中数学苏教版必修五学案：1.2　余弦定理（一）

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修五学案学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．知识点一　余弦定理的推导思考1　根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC．①试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？　　思考2　在c2＝a2＋b2－2abcosC中，abcosC能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？　　　梳理　余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及

2、其夹角恰好是确定平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模长．另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理．知识点二　余弦定理的呈现形式1．a2＝____________，b2＝____________，c2＝____________.82017-2018学年苏教版高中数学必修五学案2．cos________＝；cos________＝；cos________＝.知识点三　适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1　观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来

3、解哪类三角形？　　思考2　观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？　　梳理　余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形．类型一　余弦定理的证明例1　已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求c.　　　　　82017-2018学年苏教版高中数学必修五学案反思与感悟　所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．跟踪训练1　例1涉及线段长度

4、，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？　　　　　　类型二　用余弦定理解三角形命题角度1　已知两边及其夹角例2　已知△ABC中，b＝3，c＝1，A＝60°，求a和sinB.　　　　　反思与感悟　已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角．跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A.　　82017-2018学年苏教版高中数学必修五学案命题角度2　已知三边例3　在△ABC中，已知a＝，b＝1，c＝2.求A，B，C.　　　反思与感悟　已知三边求三角，可利

5、用余弦定理的变形cosA＝，cosB＝，cosC＝求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理．跟踪训练3　在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判断三角形的形状．　　　　　　　1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长为________．2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为________．3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．4．在△ABC中，符合余弦定理的是________．①c2＝a2＋

6、b2－2abcosC；②c2＝a2－b2－2bccosA；82017-2018学年苏教版高中数学必修五学案③b2＝a2－c2－2bccosA；④cosC＝.1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(

7、3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．82017-2018学年苏教版高中数学必修五学案答案精析问题导学知识点一思考1　当a＝b＝c时，∠C＝60°，a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°＝c2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC.思考2　abcosC＝

8、C

9、·

10、C

11、cos，＝·.∴a2＋b2－2abcosC＝2＋2－2·＝(－)2＝2＝c2.猜想得证．知识点二1．b2＋c2－2bccosA　c2＋a2－2caco

12、sB　a2＋b2－2abcosC2．A　B　C知识点三思考1　每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．思考2　每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．题型探究例1　解　如图，设C＝a，C＝b，A＝c，由A＝C－C，知c＝a－b，则

13、c

14、2＝c·c8201