2018年遵义中考数学总复习 第二编 中档题型突破专项训练篇 中档题型专训（5）圆的有关计算、证明与探究试题

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1、2018年中考数学总复习试题中档题型专训(五)圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．　与圆的有关性质【例1】如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，C，D为OA，OB上的两点，且AC＝BD.求证：AD＝BC.【解析】首先证明OC＝OD，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD＝BC.【答案】证明：∵OA，OB是⊙O的两条半径，∴AO＝BO.∵AC

2、＝BD，∴OC＝OD，在△ODA和△OCB中，∴△ODA≌△OCB(SAS)，∴AD＝BC.1．(2017玉林一模)如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F，已知BC＝8，DE＝2.(1)求⊙O的半径；(2)求CF的长．解：(1)设⊙O的半径为x，∵E点是的中点，O点是圆心，∴OD⊥BC，DC＝BC＝4，在Rt△ODC中，OD＝x－2，2018年中考数学总复习试题∴OD2＋DC2＝OC2，∴(x－2)2＋42＝x2，∴x＝5，即⊙O的半径为5；(2)∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥CF.又∵

3、E是的中点．∴OD⊥BC，∴OC2＝OD·OF，即52＝3·OF，∴OF＝.在Rt△OCF中，OC2＋CF2＝OF2，∴CF＝.　圆的切线的性质与判定【例2】(2017遵义二中一模)如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt△OBF中，∠ABD＝30°，OF＝1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影＝S扇形OBD

4、－S△BOD，即可求解．【答案】解：(1)连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°.∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD.∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；(2)在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝.∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2，∠BOD＝2∠BOF＝120°.∴S阴影＝S扇形OBD－S△BOD＝－×2×1＝π－.2．(2017南宁中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过2018年

5、中考数学总复习试题上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE.(1)求证：△ECF∽△GCE；(2)求证：EG是⊙O的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点M，若tanG＝，AH＝3，求EM的值．解：(1)∵AC∥EG，∴∠G＝∠ACG.∵AB⊥CD，∴＝，∴∠CEF＝∠ACD，∴∠G＝∠CEF.∵∠ECF＝∠ECG，∴△ECF∽△GCE；(2)连接OE.∵GF＝GE，∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH.∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA.∵∠AFH＋∠FAH＝90°，∴∠GEF＋∠AEO＝90°，∴∠G

6、EO＝90°，∴GE⊥OE.又∵OE为⊙O半径，∴EG是⊙O的切线，(3)连接OC.设⊙O的半径为r.在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tanG＝＝，∵AH＝3，∴HC＝4，在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r－3，HC＝4，∴(r－3)2＋(4)2＝r2，∴r＝.∵GM∥AC，2018年中考数学总复习试题∴∠CAH＝∠M.∵∠OEM＝∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴＝，∴＝，∴EM＝.　圆与相似及三角函数综合【例3】(2017无锡中考)如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点(点B在点A的右边)，P是半径OB上一点，过P

7、且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点(点C在点D的上方)，直线AC，DB交于点E.若AC∶CE＝1∶2.(1)求点P的坐标；(2)求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数解析式．【解析】(1)如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H.设C(m，n)，则P(m，0)，PA＝m＋3，PB＝3－m.首先证明△ACP∽△ECH，推出＝＝＝，推出CH＝2n，EH＝2m＋6，再证明△DPB∽△DHE，推出＝＝＝，可得＝，求出m即可解决问题；(2)由题意设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－5)，求出E点坐标代入即可解决问题．【答案】解

8、：(1)如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H.设C(m，n)，则P(m，0)，PA＝m＋3，PB＝3－m.∵EH∥AP，∴△ACP∽△ECH