2016-2017学年高中数学人教a版选修4-5学业分层测评13 用数学归纳法证明不等式举例 word版含解析

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1、学业分层测评（十三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命题总成立的是(　　)A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立【解析】　根据题中条件可知：由f(k)≥k2，必能推得f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因为D中f(4)＝25

2、＞42，故可推得k≥4时，f(k)≥k2，故只有D正确．【答案】　D2．用数学归纳法证明“对于任意x＞0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为(　　)A．n0＝1B．n0＝2C．n0＝1,2D.以上答案均不正确【解析】　需验证：n0＝1时，x＋≥1＋1成立．【答案】　A3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋

3、＋＋＋…＋，∴共增加2k项．【答案】　D4．若不等式＋＋…＋>对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为(　　)A．12B．13C．14D.不存在【解析】　令f(n)＝＋＋…＋，易知f(n)是单调递增的，∴f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.依题意>，∴m<14.因此取m＝13.【答案】　B5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边(　　)A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了B中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对【解析】　∵n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，∴增加了两项，，

4、少了一项.【答案】　C二、填空题6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为________．【解析】　当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．【答案】　21＋1≥12＋1＋27．证明＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为________．【解析】　当n＝2时，要证明的式子为2＜1＋＋＋＜3.【答案】　2＜1＋＋＋＜38．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．【解析】

5、　由题中已知不等式可猜想：＋＋＋…＋≥(n≥3且n∈N＋)．【答案】　＋＋＋…＋≥(n≥3且n∈N＋)三、解答题9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：S＋S＋…＋S≤－.【解】　(1)S1＝a1＝，∴＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，∴－＝2.故是以2为首项，2为公差的等差数列．(2)证明：①当n＝1时，S＝＝－，不等式成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，则当n＝k＋1时，S＋S＋…

6、＋S＋S≤－＋＝－＝－·<－·＝－.即当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知对任意n∈N＋不等式成立．10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N*)．【证明】　由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝x2－1.因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)，(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥2k－1，当n＝k＋1时，ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.又k≥1，∴22k≥2k＋1，∴

7、n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立．根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．[能力提升]1．对于正整数n，下列不等式不正确的是(　　)A．3n≥1＋2nB．0.9n≥1－0.1nC．0.9n≤1－0.1nD.0.1n≤1－0.9n【解析】　排除法，取n＝2，只有C不成立．【答案】　C2．利用数学归纳法证明“＜”时，n的最小取值n0应为________.【导学号：32750071】【解析】　n0＝1时不成立，n0＝2时，＜，再用数学归纳法证明，故n0＝2.【答案】　23．设a，b均为正实数(n∈