2016-2017学年高中数学人教a版选修4-5学业分层测评12 数学归纳法 word版含解析

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1、学业分层测评(十二)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.设f(n)=1+++…+(n∈N+),则f(n+1)-f(n)等于(  )A.B.+C.+D.++【解析】 因为f(n)=1+++…+,所以f(n+1)=1+++…++++,所以f(n+1)-f(n)=++.故选D.【答案】 D2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于(  )A.1B.2C.3D.0【解析】 边数最少的凸n边形是三角形.【答案】 C3.已知a1=,an+1=,猜想an等于(  )【

2、导学号:32750066】A.B.C.D.【解析】 a2==,a3==,a4===,猜想an=.【答案】 D4.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…·(n+n)=2n×1×3…(2n-1)时,从“k到k+1”左边需增乘的代数式是(  )A.2k+1B.C.2(2k+1)D.【解析】 当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)…·(k+1+k+1)=(k+1)·(k+2)·(k+3)…(k+k)·=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)·2(2k+1).【答案】 C5.记凸k边形的内角和为f(k

3、),则凸k+1边形的内角和f(k+1)等于f(k)加上(  )A.B.πC.2πD.π【解析】 从n=k到n=k+1时,内角和增加π.【答案】 B二、填空题6.观察式子1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…,猜想第n个式子应为________.【答案】 1-4+9-16+…+(-1)n-1n2=(-1)n+1·7.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程中,第二步假设n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到________.【解析】 ∵n=k时,命题为“1+

4、2+22+…+2k-1=2k-1”,∴n=k+1时为使用归纳假设,应写成1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1.【答案】 1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-18.用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N+)能被14整除,当n=k+1时,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1应变形为________.【解析】 34(k+1)+1+52(k+1)+1=34k+5+52k+3=81×34k+1+25×52k+1=81×34k+1+81×52k+1-56×52k+1=81×

5、(34k+1+52k+1)-56×52k+1.【答案】 81×(34k+1+52k+1)-56×52k+1三、解答题9.用数学归纳法证明:…=(n≥2,n∈N+).【证明】 (1)当n=2时,左边=1-=,右边==.∴等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,等式成立,即…=(k≥2,k∈N+).当n=k+1时,…=·===,∴当n=k+1时,等式成立.根据(1)和(2)知,对n≥2,n∈N+时,等式成立.10.用数学归纳法证明:对于任意正整数n,整式an-bn都能被a-b整除.【证明】 (1)当n

6、=1时,an-bn=a-b能被a-b整除.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,ak-bk能被a-b整除,那么当n=k+1时,ak+1-bk+1=ak+1-akb+akb-bk+1=ak(a-b)+b(ak-bk).因为(a-b)和ak-bk都能被a-b整除,所以上面的和ak(a-b)+b(ak-bk)也能被a-b整除.这也就是说当n=k+1时,ak+1-bk+1能被a-b整除.根据(1)(2)可知对一切正整数n,an-bn都能被a-b整除.[能力提升]1.设f(n)=+++…+(n∈N+),那么f(n+

7、1)-f(n)等于(  )【导学号:32750067】A.B.C.+D.-【解析】 因为f(n)=++…+,所以f(n+1)=++…+++,所以f(n+1)-f(n)=+-=-.【答案】 D2.某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N+)的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的:(2)假设n=k时有<k+1,那么当n=k+1时,=<=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于n∈N+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于(  )A.从k到k+1的推理过程没有使

8、用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从k到k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体【解析】 证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设<k+1.【答案】 A3.用数学归纳法证明22+32+…+n2=-1(n∈N+,且n>1)时,第一步应验证n=________,当n=k+1时,左边的式子为________.【解析】 ∵所证明的等式为22+32+…+n2=-1(n∈N+,

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