椭圆四：面积问题

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1、椭圆四：有关面积问题1.（2010一模）海淀19．（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点（1，）在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.答案：19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为，..……………1分..……………3分又，……………4分故椭圆的方程为..……………5分（Ⅱ）当直线轴，计算得到：，，不符合题意..……………6分当直线与轴不垂直时，设

2、直线的方程为：，由，消去y得，.……………7分显然成立，设，则.……………8分又即，.……………9分又圆的半径.……………10分所以化简，得，即，解得所以，，.……………12分故圆的方程为：..……………13分（Ⅱ）另解：设直线的方程为，由，消去x得，恒成立，设，则……………8分所以.……………9分又圆的半径为，.……………10分所以，解得，所以，……………12分故圆的方程为：..……………13分2.朝阳(2011一模理)19．（本小题满分14分）已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动

3、点，且面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．答案：19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．由题意知解得，．故椭圆的方程为，离心率为．……6分（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．证明如下：由题意可设直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为．由得．设点的坐标为，则．所以，．……………………………10分因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为.直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．当时，则

4、直线的斜率.所以直线的方程为．点到直线的距离．又因为，所以．故以为直径的圆与直线相切．综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．………14分3.（2011顺义二模理19）.（本小题满分14分）已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：的面积为。试确定点T的个数。解（1）因为，且，所以所以椭

5、圆C的方程为…………………………………………….3分(2)易知椭圆C的左，右顶点坐标为,直线AS的斜率显然存在，且故可设直线AS的方程为，从而由得设，则，得从而，即又,故直线BS的方程为由得，所以故又，所以当且仅当时，即时等号成立所以时，线段MN的长度取最小值………………………………..9分（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，此时AS的方程为，,_D_x_y_N_S_A_B_M_O所以,要使的面积为，只需点T到直线AS的距离等于，所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线上设，则由，解得①当时

6、，由得由于，故直线与椭圆C有两个不同交点②时，由得由于，故直线与椭圆C没有交点综上所求点T的个数是2.…4.（2010寒假）东城19．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆在第一象限的一点的横坐标为，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，，求证：直线的斜率为定值；（Ⅲ）求面积的最大值．答案：19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为．由题意………………………………………………2分解得，．所以椭圆的方程为．……

7、…………………………………………4分（Ⅱ）由题意知，两直线，的斜率必存在，设的斜率为，则的直线方程为.由得.………………6分设，，则，同理可得，则，.所以直线的斜率为定值.……………………………………8分（Ⅲ）设的直线方程为.由得.由，得.……………………………………10分此时，.到的距离为，则.因为使判别式大于零，所以当且仅当时取等号，所以面积的最大值为．………………………………………………………13分5.（2010一模）石景山19．（本题满分14分）已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两

8、点A、B。（1）求椭圆的方程；（2）求的值（O点为坐标原点）；（3）若坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值。答案：19．（本题满分14分）解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意解得由2分所求椭圆方程为3分（2）设，其坐标满足方程消去并整理得4分则（*）5分故6分经检验满足式（*）式8分（3）由已知，可得9分将代入椭圆方程，整理得10分11分12分当且仅当，即时等号成立，经检验，满足（*）式当时，综上可知13分当

9、AB最大时，的面积最大值1