例谈排列组合问题的若干解题策略

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1、例谈排列组合问题的若干解题策略高考关于排列组合的考查，一般以实际应用问题的形式出现，这类问题联系实际、生动有趣，但概念性强、题型多样、方法新颖。解这类问题往往可以从多个角度进行思考，若切入得当，则求解非常简便，否则便会复杂难解，而且易犯“重复”或“遗漏”等错误。因为对思维的条理性、严密性、深刻性等要求都比较高，所以排列组合问题是中学数学难点之一，同时也是历年高考的常考点。本文就排列组合问题的常见题型的求解方法加以归类，供参考。一、相临问题——整体捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人

2、看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。评注：一般地:个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。例2.有件()不同的产品排成一排，若其中A、B两件产品排在一起的不同排法有48种，则=解：依题意有，，即解得二、不相临问题——选空插入法例3．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种.评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。例4.（2008浙江）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻

3、两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是。解：用“捆绑法”和“插空法”。先把1与2捆绑在一起，并且排在5个位置上，有种排法，其余位置元素的排法分别为种，所以满足条件的六位数有个。三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有　　个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.

4、四、特殊元素、位置——优先考虑法　　对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例4．(1995年上海高考题)1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法　　　种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有　　　种

5、.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A）A．42B．30C．20D．12解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62+A22A61=42，故选

6、A。例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）解：区域１与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色．用三种颜色着色有=24种方法,用四种颜色着色有=48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72.六、排组混合问题——先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）

7、A．种B．种C．种D．种解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有：种，故选A。例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）   A．24种         B．18种         C．12种              D．6种   解:先选后排,分步实施.由题意，不同的选法有:C32种,不同的排法有:A31·A22,故不同的种植方法共有A31·C32·A22=12，故应选C.七．相同元素分配——