数形结合的初步应用教学案例

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1、数形结合的初步应用教学案例[案例背景]：这是新学期开学不久的一堂高一数学课，学生正处于高中数学学习的适应阶段。尽管初中已经学习了系统的函数知识，不过高中函数内容更为复杂，结构化更为明显，对学生的思维要求也比较高。尤其是对于我们普通高中的同学来说，高中数学的函数内容显得抽象难以理解。本节课课题为《单调性与最大（小）值》第二课时。本人是一名年青教师，以下是我教学过程中的一个片段。[案例主题]：通过数形结合，让学生体验一次函数和二次函数最值问题的求法，让学生更进一步理解一次函数和二次函数的图像及性质。通

2、过学生实际动手解题以及师生之间的互动，初步学会利用图像来解决函数问题。[案例描述]：1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）……………师：好的，看来大家已经学会了函数最大值和最小值的含义了，接下来我们来看几个例题。师：首先我们来看第一个例题：求函数在上的最大值和最小值。大家一起来思考一下。……………师：老师请一位同学起来说一说思路，***同学，你来说说。生1：把2和5代进去就可以了，最大值是13，最小值是7。学生（议论纷纷）：你怎么知道2和5就是最大值和最小值？师：有同学有不同意见吗？生2：他做

3、的是对的，不过理由不充分，应该画图，画出一次函数的图像，通过一次函数图像在上最大值和最小值在端点取到来说明。师：非常好，我们也可以通过一次函数单调性来解题。函数在时单调递增的，因此在2和5处分别取到了最小值和最大值。刚才同学们说的用图象法，也是一种很好的方法，我们以后把它称为数形结合思想。……………师：我们再来看一个例题：求函数在上的最大值和最小值，如果把区间换成呢？大家再来思考一下，可以同桌之间互相讨论一下。……………师：我还是都代端点可以吗？生：有一个不可以了。师：那这个时候该怎么办呢？***

4、同学。生3：根据函数的单调性来求。师：可不可以具体点？生3：就是找到对称轴，函数在上单调递减，上单调递增。那么前一个可以直接取端点来求，后一个函数最小值要在对称轴上求，最大值在端点处求。师：对，请坐。我们发现有时候对称轴在区间里面，有时候不在，因此解题时候我们要密切关注对称轴的位置。因此，我们还是可以通过数形结合的方法来帮助我们解题。大家现在把它的图像画一画，从图像上来解题。师：很好，很多同学都画出来了，那么大家一起来讨论一下，下次遇到二次函数求最大值和最小值，我们如何用图像来解题呢？……………生

5、1：先画图，找对称轴。生2：看区间和对称轴关系。生3：根据函数单调性求最大值和最小值。……………师：大家很好，今后我们遇到二次函数求最值的时候，大家可以先画出函数的图像，通过图像观察，如果对称轴在区间内部时，那么要计算对称轴上函数值，它将会是最值中的其中一个，另一个在端点处取到。如果对称轴不在区间内部时候，那么无需考虑对称轴，直接计算端点处的函数值就可以了。那么在大题目中我们就要把它的单调区间写出来，根据单调性来说明。有了图像的帮助，我们解这类函数求最值的题目就事半功倍了吧？生：是！……………本节

6、课我的教学案例中写入的是利用单调性进行求值，数形结合的思路我只是想顺带题目中提及，不想在实际教学中强调了数形结合。理由很简单，学生从初中到高中，数学学习思维难免会有一个慢热期。特别是我与学生讨论二次函数求最值问题时候，学生虽然学过二次函数，可是还不能完全熟练利用二次函数的有关性质解题。我想我应该是学生学习的引导者，引导他们学会如何解题，如何学习。让学生独立思考，最后集思广益，由学生想到用图像辅助解题，用图像去观察函数的最值问题。而我的工作就是把他们心里想的，总结出来，把他们不够整齐的思路，理一理，

7、他们体验到数学学习的乐趣，获得有效的方法。上课没有太多的时间让学生把图画好的同时，又要介绍利用二次函数图像求最值的一般情况，因此，给予学生的时间仍然不够充分。同时也无法顾及到一些后进生进行充分理解，因此，效率还是要进一步加强。不过，面面俱到总是很难得，通过本节学习，还是可以让大多数学生体验数学学习的乐趣，充分挖掘他们的兴趣，在动手解题中和思考讨论中获得数形结合的简单方法，学会简单应用，学会学习新方法，体验新知识。（基本用图如下）：[案例评析]：数学家华罗庚曾经说过：“数与形本是相依，怎能分作两边飞

8、，数缺形时少直观，形少数时难入微”，数学是研究客观世界中的空间形式与数量关系的一门科学，因此数形结合不但是一种解题思路，更是一种数学要求。一方面在研究抽象数量关系时，充分运用几何等方面的知识使得抽象的问题具体化，直观化，有效地解决问题；另一方面，它可以赋予图形性质以及数量意义，使几何问题代数化，以数助形，用代数的方法使问题得到解决。“数”主要指的是实数、复数或代数对象及其关系，属于数学抽象思维的范畴，是人类左脑思维的产物。“形”主要指的是几何图形，属于形象思维的范畴，是人类右脑思维